$\text{a)}\left|x-4\right|+2=\frac{1}{2}x$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-4\right|=\{\begin{array}{l}x-4\text{dla}x\ge 4\\ -\left(x-4\right)\text{dla}x<4\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,4\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-4\right|+2=\frac{1}{2}x$  

$-\left(x-4\right)+2=\frac{1}{2}x$  

$-x+4+2=\frac{1}{2}x$  

$6=1\frac{1}{2}x$  

$6=\frac{3}{2}x\mid \cdot \frac{2}{3}$  

$4=x$  

$x=4\notin \left(-\infty ,4\right)$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale (-oo, 4) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

• $x\in ⟨4,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-4\right|+2=\frac{1}{2}x$  

$x-4+2=\frac{1}{2}x$  

$x-2=\frac{1}{2}x$  

$\frac{1}{2}x=2\mid \cdot 2$  

$x=4\in ⟨4,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \varnothing \text{lub}x=4$  

$\underline{x=4}$  

---

$\text{b)}\left|x+8\right|+\frac{3}{4}x+6=0$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+8\right|=\{\begin{array}{l}x+8\text{dla}x\ge -8\\ -\left(x+8\right)\text{dla}x<-8\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,-8\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+8\right|+\frac{3}{4}x+6=0$  

$-\left(x+8\right)+\frac{3}{4}x+6=0$  

$-x-8+\frac{3}{4}x+6=0$  

$-\frac{1}{4}x-2=0$  

$\frac{1}{4}x=-2\mid \cdot 4$  

$x=-8\notin \left(-\infty ,-8\right)$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale (-oo, -8) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

• $x\in ⟨-8,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+8\right|+\frac{3}{4}x+6=0$  

$x+8+\frac{3}{4}x+6=0$  

$1\frac{3}{4}x+14=0$  

$\frac{7}{4}x=-14\mid \cdot \frac{4}{7}$  

$x=-8\in ⟨-8,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \varnothing \text{lub}x=-8$  

$\underline{x=-8}$  

---

$\text{c)}\left|x+3\right|-x=3$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+3\right|=\{\begin{array}{l}x+3\text{dla}x\ge -3\\ -\left(x+3\right)\text{dla}x<-3\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,-3\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+3\right|-x=3$  

$-\left(x+3\right)-x=3$  

$-x-3-x=3$  

$-2x=6\mid :\left(-2\right)$  

$x=-3\notin \left(-\infty ,-3\right)$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale (-oo, -3) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

• $x\in ⟨-3,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+3\right|-x=3$  

$x+3-x=3$  

$3=3$  

Równanie jest tożsamościowe, wic jego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista z rozważanego przedziału.

$x\in ⟨-3,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \varnothing \text{lub}x\in ⟨-3,+\infty )$  

$\underline{x\in ⟨-3,+\infty )}$  

---

$\text{d)}\left|x-7\right|+x=6$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-7\right|=\{\begin{array}{l}x-7\text{dla}x\ge 7\\ -\left(x-7\right)\text{dla}x<7\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,7\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-7\right|+x=6$  

$-\left(x-7\right)+x=6$  

$-x+7+x=6$  

$7=6$  

Równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

• $x\in ⟨7,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-7\right|+x=6$  

$x-7+x=6$  

$2x=13\mid :2$  

$x=6,5\notin ⟨7,+\infty )$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale <7, +oo) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \varnothing \text{lub}x\in \varnothing$  

$\underline{x\in \varnothing }$  

(równanie nie ma rozwiązań)

---

$\text{e)}\left|x-5\right|+x=5$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-5\right|=\{\begin{array}{l}x-5\text{dla}x\ge 5\\ -\left(x-5\right)\text{dla}x<5\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,5\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-5\right|+x=5$  

$-\left(x-5\right)+x=5$  

$-x+5+x=5$  

$5=5$  

Równanie jest tożsamościowe, wic jego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista z rozważanego przedziału.

$x\in \left(-\infty ,5\right)$  

• $x\in ⟨5,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x-5\right|+x=5$  

$x-5+x=5$  

$2x=10\mid :2$  

$x=5\in ⟨5,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,5\right)\text{lub}x=5$  

$\underline{x\in (-\infty ,5⟩}$  

---

$\text{f)}\left|x+5\right|+2=\frac{1}{3}x$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+5\right|=\{\begin{array}{l}x+5\text{dla}x\ge -5\\ -\left(x+5\right)\text{dla}x<-5\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,-5\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+5\right|+2=\frac{1}{3}x$  

$-\left(x+5\right)+2=\frac{1}{3}x$  

$-x-5+2=\frac{1}{3}x$  

$-1\frac{1}{3}x-3=0$  

$-\frac{4}{3}x=3\mid \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$  

$x=-\frac{9}{4}=-2,25\notin \left(-\infty ,-5\right)$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale (-oo, -5) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

• $x\in ⟨-5,+\infty )$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\left|x+5\right|+2=\frac{1}{3}x$  

$x+5+2=\frac{1}{3}x$  

$\frac{2}{3}x+7=0$  

$\frac{2}{3}x=-7\mid \cdot \frac{3}{2}$  

$x=-\frac{21}{2}=-10,5\notin ⟨-5,+\infty )$  

Wyznaczone rozwiązanie nie należy do rozważanego przedziału, więc w przedziale <-5, +oo) równanie nie ma rozwiązań.

$x\in \varnothing$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \varnothing \text{lub}x\in \varnothing$  

$\underline{x\in \varnothing }$  

(równanie nie ma rozwiązań)