$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)},g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+4x-5}$  

Wyrażenia opisujące wzory funkcji f i g mają takie same liczniki, więc funkcje f i g będą równe, gdy mianowniki wyrażeń również będą równe.

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)\equiv x^2+4x-5$  

Obliczenia pomocnicze - rozkład trójmianu x²+4x-5 na czynniki:

$\Delta =16+20=36,\sqrt{\Delta }=6$  

$x=\frac{-4-6}{2}=-5\text{lub}x=\frac{-4+6}{2}=1$  

Zatem:

$x^2+4x-5=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$  

Wówczas równanie przyjmuje postać.

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$  

Powyższa równość zachodzi, gdy:

$a=-5,b=1\text{lub}a=1,b=-5$  

Odp. Funkcje f i g są równe, gdy a=-5, b=1 lub a=1, b=-5.

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{1}{x-a},g\left(x\right)=\frac{x^2+b}{x^3+x^2+x+1}$  

Przekształcamy wzór funkcji g:

$g\left(x\right)=\frac{x^2+b}{x^3+x^2+x+1}=\frac{x^2+b}{x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}=\frac{x^2+b}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}$  

Mamy więc:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-a}$  

$g\left(x\right)=\frac{x^2+b}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}$  

Funkcje f i g będą równe, gdy wzory je opisujące będą takie same. 

Aby otrzymać, wzór funkcji f, należy skrócić wyrażenie x²+b w liczniku funkcji g z wyrażeniem x²+1 znajdującym się w mianowniku. Możemy to zrobić, gdy:

$b=1$  

Wówczas:

$g\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{x+1}$  

Wyrażenia opisujące wzory funkcji f i g mają takie same liczniki, więc funkcje f i g będą równe, gdy mianowniki wyrażeń również będą równe.

$x-a\equiv x+1$  

$-a=1$  

$a=-1$  

Odp. Funkcje f i g są równe, gdy a=-1, b=1.

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3},g\left(x\right)=\frac{x-8}{x^2-x-6}$  

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}=\frac{a\left(x-3\right)+b\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}=\frac{ax-3a+bx+2b}{x^2-3x+2x-6}=\frac{\left(a+b\right)x+2b-3a}{x^2-x-6}$  

Mamy więc:

$f\left(x\right)=\frac{\left(a+b\right)x+2b-3a}{x^2-x-6}$  

$g\left(x\right)=\frac{x-8}{x^2-x-6}$  

Wyrażenia opisujące wzory funkcji f i g mają takie same mianowniki, więc funkcje f i g będą równe, gdy liczniki wyrażeń również będą równe.

$\left(a+b\right)x+2b-3a\equiv x-8$  

Powyższa równość zachodzi, gdy:

$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 2b-3a=-8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1-b\\ 2b-3a=-8\end{array}$  

Podstawiamy a=1-b do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}a=1-b\\ 2b-3\left(1-b\right)=-8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1-b\\ 2b-3+3b=-8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1-b\\ 5b=-5\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1-b\\ b=-1\end{array}$  

Podstawiamy b=-1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}a=1-\left(-1\right)\\ b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1+1\\ b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}$  

Odp. Funkcje f i g są równe, gdy a=2, b=-1.

---

$\text{d)}f\left(x\right)=1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x+4},g\left(x\right)=\frac{x^2+3x-12}{x^2+4x}$  

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x+4}=\frac{x\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}+\frac{a\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}+\frac{bx}{x\left(x+4\right)}=\frac{x\left(x+4\right)+a\left(x+4\right)+bx}{x\left(x+4\right)}=\frac{x^2+4x+ax+4a+bx}{x\left(x+4\right)}=\frac{x^2+\left(a+b+4\right)x+4a}{x^2+4x}$  

Mamy więc:

$f\left(x\right)=\frac{x^2+\left(a+b+4\right)x+4a}{x^2+4x}$  

$g\left(x\right)=\frac{x^2+3x-12}{x^2+4x}$  

Wyrażenia opisujące wzory funkcji f i g mają takie same mianowniki, więc funkcje f i g będą równe, gdy liczniki wyrażeń również będą równe.

$(x^2+\left(a+b+4\right)x+4a\equiv x^2+3x-12$  

Powyższa równość zachodzi, gdy:

$\{\begin{array}{l}a+b+4=3\\ 4a=-12\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ a=-3\end{array}$  

Podstawiamy a=-3 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-3+b=-1\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=2\end{array}$  

Odp. Funkcje f i g są równe, gdy a=-3, b=2.