Zapisz za pomocą przedziału lub sumy przedziałów...- Zadanie 17: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Wyznaczamy zbiór A:

$\frac{2 x - 3}{6 x + 1} \leq \frac{x - 2}{3 x + 4}$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$6 x + 1 \neq = 0 i 3 x + 4 \neq = 0$

$6 x \neq = - 1 ∣ : 6 i 3 x \neq = - 4 ∣ : 3$

$x \neq = - \frac{1}{6} i x \neq = - \frac{4}{3}$

$D = R \ {- \frac{4}{3}, - \frac{1}{6}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{2 x - 3}{6 x + 1} \leq \frac{x - 2}{3 x + 4} ∣ \cdot (6 x + 1)^{2} (3 x + 4)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadraty mianowników, by znak nierówności się nie zmienił.

$(2 x - 3) (6 x + 1) (3 x + 4)^{2} \leq (x - 2) (3 x + 4) (6 x + 1)^{2}$

$(2 x - 3) (6 x + 1) (3 x + 4)^{2} - (x - 2) (3 x + 4) (6 x + 1)^{2} \leq 0$

$(6 x + 1) (3 x + 4) [(2 x - 3) (3 x + 4) - (x - 2) (6 x + 1)] \leq 0$

$(6 x + 1) (3 x + 4) [6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 - (6 x^{2} + x - 12 x - 2)] \leq 0$

$(6 x + 1) (3 x + 4) (6 x^{2} - x - 12 - 6 x^{2} - x + 12 x + 2) \leq 0$

$(6 x + 1) (3 x + 4) (10 x - 10) \leq 0 ∣ \cdot \frac{1}{6 \cdot 3 \cdot 10}$

$(x + \frac{1}{6}) (x + \frac{4}{3}) (x - 10) \leq 0$

Otrzymaliśmy nierówność wielomianową. Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, - \frac{4}{3} ⟩ \cup < >$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - \frac{4}{3} ⟩ \cup < > i x \in R \ {- \frac{4}{3}, - \frac{1}{6}}$

$\underline{x \in (- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{1}{6}, 1 ⟩}$

Zatem:

$A = (- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{1}{6}, 1 ⟩$

Wyznaczamy zbiór B:

$\frac{x}{2 x - 5} > \frac{x + 2}{2 x}$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$2 x - 5 \neq = 0 i 2 x \neq = 0 ∣ : 2$

$x - \frac{5}{2} \neq = 0 i x \neq = 0$

$x \neq = \frac{5}{2} i x \neq = 0$

$D = R \ {0, \frac{5}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x}{2 x - 5} > \frac{x + 2}{2 x} ∣ \cdot (2 x - 5)^{2} (2 x)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$4 x^{3} (2 x - 5) > 2 x (x + 2) (2 x - 5)^{2} ∣ : 2$

$2 x^{3} (2 x - 5) > x (x + 2) (2 x - 5)^{2}$

$2 x^{3} (2 x - 5) - x (x + 2) (2 x - 5)^{2} > 0$

$x (2 x - 5) [2 x^{2} - (x + 2) (2 x - 5)] > 0$

$x (2 x - 5) [2 x^{2} - (2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10)] > 0$

$x (2 x - 5) [2 x^{2} - (2 x^{2} - x - 10)] > 0$

$x (2 x - 5) (2 x^{2} - 2 x^{2} + x + 10) > 0$

$x (2 x - 5) (x + 10) > 0 ∣ \cdot \frac{1}{2}$

$x (x - \frac{5}{2}) (x + 10) > 0$

Otrzymaliśmy nierówność wielomianową. Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- 10, 0) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- 10, 0) \cup (\frac{5}{2}, + \infty) i x \in R \ {x, \frac{5}{2}}$

$\underline{x \in (- 10, 0) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)}$

Zatem:

$B = (- 10, 0) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

Otrzymaliśmy:

$A = (- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{1}{6}, 1 ⟩$

$B = (- 10, 0) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

Wówczas:

$A \cup B = (- \infty, 1 ⟩ \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

$A \cap B = (- 10, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{1}{6}, 0)$

$A \ B = (- \infty, - 10 ⟩ \cup ⟨ 0, 1 ⟩$

$B \ A = < > \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna

Premium

10:25

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.