Rozwiąż nierówność.- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) \frac{x - 5}{x} > 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x \neq = 0$

$D = R \ {0}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x - 5}{x} > 0 ∣ \cdot x^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$x (x - 5) > 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, 0) \cup (5, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 0) \cup (5, + \infty) i x \neq = 0$

$\underline{x \in (- \infty, 0) \cup (5, + \infty)}$

$b) \frac{x}{2 x - 3} \leq 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$2 x - 3 \neq = 0$

$2 x \neq = 3 ∣ : 2$

$x \neq = \frac{3}{2}$

$D = R \ {\frac{3}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x}{2 x - 3} \leq 0 ∣ \cdot (2 x - 3)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$x (2 x - 3) \leq 0 ∣ \cdot \frac{1}{2}$

$x (x - \frac{3}{2}) \leq 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in ⟨ 0, \frac{3}{2} ⟩$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in ⟨ 0, \frac{3}{2} ⟩ i x \neq = \frac{3}{2}$

$\underline{x \in ⟨ 0, \frac{3}{2})}$

$c) \frac{x + 4}{x - 3} \geq 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

$D = R \ {3}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x + 4}{x - 3} \geq 0 ∣ \cdot (x - 3)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$(x + 4) (x - 3) \geq 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty) i x \neq = 3$

$\underline{x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup (3, + \infty)}$

$d) \frac{8 - x}{3 - 4 x} < 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3 - 4 x \neq = 0$

$4 x \neq = 3 ∣ : 4$

$x \neq = \frac{3}{4}$

$D = R \ {\frac{3}{4}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{8 - x}{3 - 4 x} < 0 ∣ \cdot (3 - 4 x)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$(8 - x) (3 - 4 x) < 0$

$(x - 8) (4 x - 3) < 0 ∣ \cdot \frac{1}{4}$

$(x - 8) (x - \frac{3}{4}) < 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (\frac{3}{4}, 8)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (\frac{3}{4}, 8) i x \neq = \frac{3}{4}$

$\underline{x \in (\frac{3}{4}, 8)}$

$e) \frac{5 x - 1}{5 - x} > 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$5 - x \neq = 0$

$x \neq = 5$

$D = R \ {5}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{5 x - 1}{5 - x} > 0 ∣ \cdot (5 - x)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$(5 x - 1) (5 - x) > 0 ∣ \cdot (- \frac{1}{5})$

$(x - \frac{1}{5}) (x - 5) < 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (\frac{1}{5}, 5)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (\frac{1}{5}, 5) i x \neq = 5$

$\underline{x \in (\frac{1}{5}, 5)}$

$f) \frac{6 - 3 x}{2 x + 1} \leq 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$2 x + 1 \neq = 0$

$2 x \neq = - 1 ∣ : 2$

$x \neq = - \frac{1}{2}$

$D = R \ {- \frac{1}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{6 - 3 x}{2 x + 1} \leq 0 ∣ \cdot (2 x + 1)^{2}$

Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, by znak nierówności się nie zmienił.

$(6 - 3 x) (2 x + 1) \leq 0$

$(- 3 x + 6) (2 x + 1) \leq 0 ∣ \cdot (- \frac{1}{3})$

$(x - 2) (2 x + 1) \geq 0 ∣ \cdot \frac{1}{2}$

$(x - 2) (x + \frac{1}{2}) \geq 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty) i x \neq = - \frac{1}{2}$

$\underline{x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup ⟨ 2, + \infty)}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna

Premium

10:25

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.