Sprowadź podane wyrażenia wymierne...- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Mianowniki wyrażeń nie mają żadnych wspólnych czynników, więc wspólnym mianownikiem jest iloczyn mianowników tych wyrażeń, czyli (x+5)(x-5).

Rozszerzamy oba ułamki przez brakujące czynniki:

$\frac{5 x}{x + 5} = \frac{5 x}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} = \frac{5 x ( x - 5 )}{( x + 5 ) ( x - 5 )} = \frac{5 x ( x - 5 )}{x ^{2} - 25}$

$\frac{x}{x - 5} = \frac{x}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} = \frac{x ( x + 5 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{x ( x + 5 )}{x ^{2} - 25}$

b) Zauważmy, że mianowniki wyrażeń mają wspólny czynnik. Jest nim x-2, ponieważ:

$2 x - 4 = 2 (x - 2)$

$6 - 3 x = - 3 x + 6 = - 3 (x - 2)$

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć pierwszy ułamek przez -3, a drugi przez 2.

$\frac{3 x + 4}{2 x - 4} = \frac{3 x + 4}{2 x - 4} \cdot \frac{- 3}{- 3} = \frac{- 3 ( 3 x + 4 )}{- 3 ( 2 x - 4 )} = \frac{- 9 x - 12}{- 6 x + 12} = \frac{9 x - 12}{6 x - 12}$

$\frac{7 x - 5}{6 - 3 x} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 ( 7 x - 5 )}{2 ( 6 - 3 x )} = \frac{14 x - 10}{12 - 6 x} = \frac{10 - 14 x}{6 x - 12}$

c) Zauważmy, że mianowniki wyrażeń mają wspólny czynnik. Jest nim 3x+2, ponieważ:

$6 x + 4 = 2 (3 x + 2)$

$9 x + 6 = 3 (3 x + 2)$

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć pierwszy ułamek przez 3, a drugi przez 2.

$\frac{x - 7}{6 x + 4} = \frac{x - 7}{6 x + 4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{3 ( x - 7 )}{3 ( 6 x + 4 )} = \frac{3 x - 21}{18 x + 12}$

$\frac{2 x + 4}{9 x + 6} = \frac{2 x + 4}{9 x + 6} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 ( 2 x + 4 )}{2 ( 9 x + 6 )} = \frac{4 x + 8}{18 x + 12}$

d) Zauważmy, że mianowniki wyrażeń mają wspólny czynnik. Jest nim x-2, ponieważ:

$x^{2} - 2 x = x (x - 2)$

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć drugi ułamek przez x.

$\frac{3}{x ^{2} - 2 x}$

$\frac{6}{x - 2} = \frac{6}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} = \frac{6 x}{x ( x - 2 )} = \frac{6 x}{x ^{2} - 2 x}$

e) Mianowniki wyrażeń nie mają żadnych wspólnych czynników, więc wspólnym mianownikiem jest iloczyn mianowników tych wyrażeń, czyli (x²-6x+9)(x+3).

Rozszerzamy oba ułamki przez brakujące czynniki:

$\frac{x ^{2} + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} = \frac{x ^{2} + 3}{x ^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{( x ^{2} + 3 ) ( x + 3 )}{( x ^{2} - 6 x + 9 ) ( x + 3 )} = \frac{( x ^{2} + 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$

$\frac{3 x}{x + 3} = \frac{3 x}{x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 6 x + 9} = \frac{3 x ( x ^{2} - 6 x + 9 )}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 6 x + 9 )} = \frac{3 x ( x - 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$

f) Zauważmy, że mianowniki wyrażeń mają wspólny czynnik. Jest nim x+2, ponieważ:

$x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4)$

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć drugi ułamek przez (x-2)(x²+4).

$\frac{2 x + 1}{x ^{4} - 16}$

$\frac{4}{x + 2} = \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )} = \frac{4 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )} = \frac{4 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 4 )}{x ^{4} - 16}$

g) Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać, że:

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć pierwszy ułamek przez x+3, a drugi przez x-3.

$\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{( x + 1 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{( x + 1 ) ( x + 3 )}{x ^{2} - 9}$

$\frac{3 x - 1}{x + 3} = \frac{3 x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{( 3 x - 1 ) ( x - 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{( 3 x - 1 ) ( x - 3 )}{x ^{2} - 9}$

$\frac{4}{x ^{2} - 9}$

h) Zapisujemy mianowniki wyrażeń w postaci iloczynowej:

$x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

$x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$

Wobec tego wspólnym mianownikiem wyrażeń będzie (x-1)²(x+1)².

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć pierwszy ułamek przez (x+1)², drugi przez (x-1)(x+1), a trzeci przez (x-1)².

$\frac{x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}}$

$\frac{4}{x ^{2} - 1} = \frac{4}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{4 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}}$

$\frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}}$

i) Zapisujemy mianowniki wyrażeń w postaci iloczynowej:

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$

Obliczenia pomocnicze:

$Δ = 9 - 8 = 1, Δ = 1$

$x = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 lub x = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

Wobec tego wspólnym mianownikiem wyrażeń będzie (x-1)(x-2)²(x+2).

Zatem, aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy rozszerzyć pierwszy ułamek przez (x-2)(x+2), drugi przez (x-1)(x+2), a trzeci przez (x-1)(x-2).

$\frac{2}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x - 2 )} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2} ( x + 2 )}$

$\frac{1}{x ^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2} ( x + 2 )}$

$\frac{6}{x ^{2} - 4} = \frac{6}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{6 ( x - 1 ) ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2} ( x + 2 )}$