Uprość wyrażenie. Podaj...- Zadanie 9: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) \frac{4 x ^{2} + 8 x + 3}{4 x ^{2} - 1}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$4 x^{2} - 1 \neq = 0$

$4 x^{2} \neq = 1 ∣ : 4$

$x^{2} \neq = \frac{1}{4}$

$x \neq = - \frac{1}{2} i x \neq = \frac{1}{2}$

$x \in R \ {- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 4x²+8x+3:

$Δ = 64 - 48 = 16, Δ = 4$

$x = \frac{- 8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{- 12}{8} = - \frac{3}{2} lub x = \frac{- 8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$4 x^{2} + 8 x + 3 = 4 (x + \frac{3}{2}) (x + \frac{1}{2})$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{4 x ^{2} + 8 x + 3}{4 x ^{2} - 1} = \frac{4 ( x + \frac{3}{2} ) ( x + \frac{1}{2} )}{4 ( x ^{2} - \frac{1}{4} )} = \frac{( x + \frac{3}{2} ) ( x + \frac{1}{2} )}{x ^{2} - \frac{1}{4}} = \frac{( x + \frac{3}{2} ) ( x + \frac{1}{2} )}{( x - \frac{1}{2} ) ( x + \frac{1}{2} )} = \frac{x + \frac{3}{2}}{x - \frac{1}{2}}$

$b) \frac{4 x ^{2} - 9}{2 x ^{3} + 3 x ^{2}}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$2 x^{3} + 3 x^{2} \neq = 0 ∣ : 2$

$x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} \neq = 0$

$x^{2} (x + \frac{3}{2}) \neq = 0$

$x^{2} \neq = 0 i x + \frac{3}{2} \neq = 0$

$x \neq = 0 i x \neq = - \frac{3}{2}$

$x \in R \ {- \frac{3}{2}, 0}$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{4 x ^{2} - 9}{2 x ^{3} + 3 x ^{2}} = \frac{( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 )}{x ^{2} ( 2 x + 3 )} = \frac{2 x - 3}{x ^{2}}$

$c) \frac{x ^{2} - 6 x + 8}{2 - 0 , 5 x ^{2}}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$2 - 0, 5 x^{2} \neq = 0$

$0, 5 x^{2} \neq = 2 ∣ \cdot 2$

$x^{2} \neq = 4$

$x \neq = - 2 i x \neq = 2$

$x \in R \ {- 2, 2}$

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-6x+8:

$Δ = 36 - 32 = 4, Δ = 2$

$x = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 lub x = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Zatem:

$x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{x ^{2} - 6 x + 8}{2 - 0 , 5 x ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{- \frac{1}{2} ( x ^{2} - 4 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 4 )}{- \frac{1}{2} ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 4}{( - \frac{1}{2} ) ( x + 2 )} = \frac{- 2 ( x - 4 )}{x + 2} = \frac{- 2 x + 8}{x + 2} = \frac{8 - 2 x}{x + 2}$

$d) \frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} - 5 x ^{2} - x + 5}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 \neq = 0$

$x^{2} (x - 5) - (x - 5) \neq = 0$

$(x - 5) (x^{2} - 1) \neq = 0$

$x - 5 \neq = 0 i x^{2} - 1 \neq = 0$

$x \neq = 5 i x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 5 i x \neq = - 1 i x \neq = 1$

$x \in R \ {- 1, 1, 5}$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} - 5 x ^{2} - x + 5} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} ( x - 5 ) - ( x - 5 )} = \frac{x ^{2} - 1}{( x - 5 ) ( x ^{2} - 1 )} = \frac{1}{x - 5}$

$e) \frac{x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{3} - 3 x - 2}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$x^{3} - 3 x - 2 \neq = 0$

$x^{3} - x - 2 x - 2 \neq = 0$

$x (x^{2} - 1) - 2 (x + 1) \neq = 0$

$x (x - 1) (x + 1) - 2 (x + 1) \neq = 0$

$(x + 1) [x (x - 1) - 2] \neq = 0$

$(x + 1) (x^{2} - x - 2) \neq = 0$

$x + 1 \neq = 0 i Δ = 1 + 8 = 9, Δ = 3 x^{2} - x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 1 i x \neq = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 i x \neq = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x \neq = - 1 i x \neq = 2$

$x \in R \ {- 1, 2}$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{3} - 3 x - 2} = \frac{x ^{2} ( x + 1 ) - 4 ( x + 1 )}{x ^{3} - x - 2 x - 2} = \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 )}{x ( x ^{2} - 1 ) - 2 ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 )}{x ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2 ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 )}{( x + 1 ) [ x ( x - 1 ) - 2 ]} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{x + 1}$

$f) \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4}{x ^{3} - 3 x + 2}$

Mianownik wyrażenia musi być liczbą różną od zera, więc zakładamy, że:

$x^{3} - 3 x + 2 \neq = 0$

$x^{3} - x - 2 x + 2 \neq = 0$

$x (x^{2} - 1) - 2 (x - 1) \neq = 0$

$x (x - 1) (x + 1) - 2 (x - 1) \neq = 0$

$(x - 1) [x (x + 1) - 2] \neq = 0$

$(x - 1) (x^{2} + x - 2) \neq = 0$

$x - 1 \neq = 0 i Δ = 1 + 8 = 9, Δ = 3 x^{2} + x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 1 i x \neq = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 i x \neq = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x \neq = 1 i x \neq = - 2$

$x \in R \ {- 2, 1}$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4}{x ^{3} - 3 x + 2} = \frac{x ^{3} - x ^{2} + 4 x ^{2} - 4}{x ^{3} - x - 2 x + 2} = \frac{x ^{2} ( x - 1 ) + 4 ( x ^{2} - 1 )}{x ( x ^{2} - 1 ) - 2 ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} ( x - 1 ) + 4 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2 ( x - 1 )} = \frac{( x - 1 ) [ x ^{2} + 4 ( x + 1 ) ]}{( x - 1 ) [ x ( x + 1 ) - 2 ]} = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{2} + x - 2} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x + 2}{x - 1}$