$\text{a)}\frac{x-4}{x+2}\cdot \frac{x}{x+1}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x+2\ne 0\text{i}x+1\ne 0$  

$x\ne -2\text{i}x\ne -1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,-1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x-4}{x+2}\cdot \frac{x}{x+1}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$\left(x-4\right)\cdot x=0$  

$x-4=0\text{lub}x=0$  

$x=4\in D\text{lub}x=0\in D$  

Rozwiązaniami równania są liczby: 0, 4.

---

$\text{b)}\frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{2x-1}{x^2-1}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x^2+1\ne 0\text{i}{x}^2-1\ne 0$  

$x^2\ne -1\text{i}{x}^2\ne 1$  

$x\ne -1\text{i}x\ne 1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{2x-1}{x^2-1}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$x\cdot \left(2x-1\right)=0$  

$x=0\text{lub}2x-1=0$  

$x=0\text{lub}2x=1\mid :2$  

$x=0\in D\text{lub}x=\frac{1}{2}\in D$  

Rozwiązaniami równania są liczby: 0, ¹/₂.

---

$\text{c)}\frac{x-2}{x+1}\cdot \frac{x+2}{x^2+4}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x+1\ne 0\text{i}{x}^2+4\ne 0$  

$x\ne -1\text{i}{x}^2\ne -4$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x-2}{x+1}\cdot \frac{x+2}{x^2+4}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)=0$  

$x-2=0\text{lub}x+2=0$  

$x=2\in D\text{lub}x=-2\in D$  

Rozwiązaniami równania są liczby: -2, 2.

---

$\text{d)}\frac{x+3}{x}\cdot \frac{2x+3}{x^2-9}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x\ne 0\text{i}{x}^2-9\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}{x}^2\ne 9$  

$x\ne 0\text{i}x\ne -3\text{i}x\ne 3$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-3,0,3\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x+3}{x}\cdot \frac{2x+3}{x^2-9}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$\left(x+3\right)\cdot \left(2x+3\right)=0$  

$x+3=0\text{lub}2x+3=0$  

$x=-3\text{lub}2x=-3\mid :2$  

$x=-3\notin D\text{lub}x=-\frac{3}{2}\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba -³/₂.

---

$\text{e)}\frac{x}{x^2+4}:\frac{x+1}{x^2+4}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x^2+4\ne 0\text{i}x+1\ne 0$  

$x^2\ne -4\text{i}x\ne -1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x}{x^2+4}:\frac{x+1}{x^2+4}=0$  

$\frac{x}{x^2+4}\cdot \frac{x^2+4}{x+1}=0$  

$\frac{x}{x+1}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$x=0$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 0.

---

$\text{f)}\frac{x\left(x+1\right)}{x-1}:\frac{x^2-1}{x}=0$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x-1\ne 0\text{i}x\ne 0\text{i}{x}^2-1\ne 0$  

$x\ne 1\text{i}x\ne 0\text{i}{x}^2\ne 1$  

$x\ne 1\text{i}x\ne 0\text{i}x\ne -1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,0,1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x\left(x+1\right)}{x-1}:\frac{x^2-1}{x}=0$  

$\frac{x\left(x+1\right)}{x-1}\cdot \frac{x}{x^2-1}=0$  

Wyrażenie przyjmuje wartość zero, gdy licznik ułamka jest zerem. 

$x\left(x+1\right)\cdot x=0$  

$x^2\left(x+1\right)=0$  

$x^2=0\text{lub}x+1=0$  

$x=0\notin D\text{lub}x=-1\notin D$  

Równanie nie ma rozwiązań.