Wykonaj działania. Odpowiedź podaj...- Zadanie 8: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) \frac{x + 6}{x ^{2} + x - 2} + \frac{3 x + 8}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{1 - x}$

Określamy dziedzinę wyrażenia:

$Δ = 1 + 8 = 9, Δ = 3 x^{2} + x - 2 \neq = 0 i 2 x + 4 \neq = 0 ∣ : 2 i 1 - x \neq = 0$

$x \neq = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 i x \neq = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 i x + 2 \neq = 0 i x \neq = 1$

$x \neq = - 2 i x \neq = 1$

$D = R \ {- 2, 1}$

Korzystając z powyższych obliczeń możemy zapisać, że:

$x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Wykonujemy działania:

$\frac{x + 6}{x ^{2} + x - 2} + \frac{3 x + 8}{2 x + 4} + \frac{x + 1}{1 - x} = \frac{x + 6}{( x + 2 ) ( x - 1 )} + \frac{3 x + 8}{2 ( x + 2 )} - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{2 ( x + 6 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} + \frac{( 3 x + 8 ) ( x - 1 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} - \frac{2 ( x + 2 ) ( x + 1 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{2 ( x + 6 ) + ( 3 x + 8 ) ( x - 1 ) - 2 ( x + 2 ) ( x + 1 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{2 x + 12 + 3 x ^{2} - 3 x + 8 x - 8 - 2 ( x ^{2} + x + 2 x + 2 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{3 x ^{2} + 7 x + 4 - 2 ( x ^{2} + 3 x + 2 )}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{3 x ^{2} + 7 x + 4 - 2 x ^{2} - 6 x - 4}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} + x}{2 ( x + 2 ) ( x - 1 )}$

$b) \frac{2 x + 13}{x ^{2} - 4} + \frac{x + 4}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2}$

Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{2} - 4 \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i x - 2 \neq = 0$

$(x - 2) (x + 2) \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i x - 2 \neq = 0$

$x \neq = - 2 i x \neq = 2$

$D = R \ {- 2, 2}$

Wykonujemy działania:

$\frac{2 x + 13}{x ^{2} - 4} + \frac{x + 4}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{2 x + 13}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{x + 4}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{2 x + 13}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{( x + 4 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x + 13 + ( x + 4 ) ( x - 2 ) - ( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x + 13 + x ^{2} - 2 x + 4 x - 8 - ( x ^{2} + 4 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + 4 x + 5 - x ^{2} - 4 x - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x ^{2} - 4}$

$c) \frac{x + 1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} + 6 x + 9} - \frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} - 9}$

Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x - 3 \neq = 0 i x^{2} + 6 x + 9 \neq = 0 i x^{2} - 9 \neq = 0$

$x \neq = 3 i (x + 3)^{2} \neq = 0 i x^{2} \neq = 9$

$x \neq = 3 i x + 3 \neq = 0 i x \neq = 3 i x \neq = - 3$

$x \neq = - 3 i x \neq = 3$

$D = R \ {- 3, 3}$

Wykonujemy działania:

$\frac{x + 1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} + 6 x + 9} - \frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 1}{x - 3} - \frac{6}{( x + 3 ) ^{2}} - \frac{x ^{2} + 9}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{( x + 1 ) ( x + 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} - \frac{6 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} - \frac{( x ^{2} + 9 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ( x + 3 ) ^{2} - 6 ( x - 3 ) - ( x ^{2} + 9 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} + 6 x + 9 ) - 6 x + 18 - ( x ^{3} + 3 x ^{2} + 9 x + 27 )}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{3} + 6 x ^{2} + 9 x + x ^{2} + 6 x + 9 - 6 x + 18 - x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x - 27}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 ) ^{2}}$

$d) \frac{6 - 9 x}{x ^{3} + 8} + \frac{2 x + 3}{x ^{2} - 2 x + 4} - \frac{1}{x + 2}$

Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{3} + 8 \neq = 0 i Δ = 4 - 16 < 0 x^{2} - 2 x + 4 \neq = 0 i x + 2 \neq = 0$

$x^{3} \neq = - 8 i x \neq = - 2$

$x \neq = - 2 i x \neq = - 2$

$D = R \ {- 2}$

Wykonujemy działania:

$\frac{6 - 9 x}{x ^{3} + 8} + \frac{2 x + 3}{x ^{2} - 2 x + 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{6 - 9 x}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} + \frac{2 x + 3}{x ^{2} - 2 x + 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{6 - 9 x}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} + \frac{( 2 x + 3 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} - \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{6 - 9 x + ( 2 x + 3 ) ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{6 - 9 x + 2 x ^{2} + 4 x + 3 x + 6 - x ^{2} + 2 x - 4}{x ^{3} + 8} = \frac{x ^{2} + 8}{x ^{3} + 8}$