$f\left(x\right)=\left(\frac{x^2+x}{x-3}\cdot \frac{2x}{{\left(x+2\right)}^2}\right):\left(\frac{2x^2}{4x-12}\cdot \frac{x+1}{x+2}\right)$  

---

a) Określamy dziedzinę funkcji f - mianowniki ułamków muszą być różne od zera oraz dzielnik musi być różne od zera (czyli liczniki ułamków w drugim nawiasie nie mogą być równe 0):

$x-3\ne 0\text{i}{\left(x+2\right)}^2\ne 0\text{i}4x-12\ne 0\text{i}x+2\ne 0\text{i}2x^2\ne 0\text{i}x+1\ne 0$  

$x\ne 3\text{i}x+2\ne 0\text{i}4x\ne 12\mid :4\text{i}x\ne -2\text{i}{x}^2\ne 0\text{i}x\ne -1$  

$x\ne 3\text{i}x\ne -2\text{i}x\ne 3\text{i}x\ne -2\text{i}x\ne 0\text{i}x\ne -1$  

$x\ne 3\text{i}x\ne -2\text{i}x\ne 0\text{i}x\ne -1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,-1,0,3\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do prostszej postaci:

$f\left(x\right)=\left(\frac{x^2+x}{x-3}\cdot \frac{2x}{{\left(x+2\right)}^2}\right):\left(\frac{2x^2}{4x-12}\cdot \frac{x+1}{x+2}\right)=\left(\frac{x\left(x+1\right)}{x-3}\cdot \frac{2x}{{\left(x+2\right)}^2}\right):\frac{2x^2\left(x+1\right)}{\left(4x-12\right)\left(x+2\right)}=\frac{2x^2\left(x+1\right)}{\left(x-3\right){\left(x+2\right)}^2}\cdot \frac{\left(4x-12\right)\left(x+2\right)}{2x^2\left(x+1\right)}=\frac{4x-12}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{4\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{4}{x+2}$   

---

b) Otrzymaliśmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{4}{x+2},D=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,-1,0,3\right\}$  

Wartość funkcji f jest liczbą całkowitą, gdy liczba x+2 jest dzielnikiem liczby 4, czyli jedną z liczb: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Mamy:

$x+2=-4\text{dla}x=-6$  

$x+2=-2\text{dla}x=-4$  

$x+2=-1\text{dla}x=-3$  

$x+2=1\text{dla}x=-1$  

$x+2=2\text{dla}x=0$  

$x+2=4\text{dla}x=2$  

Zatem:

$x\in \left\{-6,-4,-3,-1,0,2\right\}$  

Szukamy naturalnych argumentów x, więc po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że jedyną liczbą ze zbioru {-6, -4, -3, -1, 0, 2} spełniającą te warunki jest

$x=2$