W wielomianie w suma współczynników przy...- Zadanie 22: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Przypadek I - wielomian jest stopnia parzystego:

$w (x) = a_{2 n} x^{2 n} + a_{2 n - 1} x^{2 n - 1} + a_{2 n - 2} x^{2 n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0}$

Suma współczynników przy potęgach parzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach nieparzystych. Stąd:

$a_{2 n} + a_{2 n - 2} + \dots + a_{2} + a_{0} = a_{2 n - 1} + \dots + a_{1}$

$a_{2 n} - a_{2 n - 1} + a_{2 n - 2} + \dots + a_{2} - a_{1} + a_{0} = 0$

Obliczamy w(-1):

$w (- 1) = a_{2 n} \cdot (- 1)^{2 n} + a_{2 n - 1} \cdot (- 1)^{2 n - 1} + a_{2 n - 2} \cdot (- 1)^{2 n - 2} + \dots + a_{2} \cdot (- 1)^{2} + a_{1} \cdot (- 1)^{1} + a_{0} \cdot (- 1)^{0} =$

$= a_{2 n} \cdot 1 + a_{2 n - 1} \cdot (- 1) + a_{2 n - 2} \cdot 1 + \dots + a_{2} \cdot 1 + a_{1} \cdot (- 1) + a_{0} \cdot 1 =$

$= a_{2 n} - a_{2 n - 1} + a_{2 n - 2} + \dots + a_{2} - a_{1} + a_{0} = 0$

w(-1)=0, więc liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Przypadek II - wielomian jest stopnia nieparzystego:

$w (x) = a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + a_{2 n - 1} x^{2 n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0}$

Suma współczynników przy potęgach parzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach nieparzystych. Stąd:

$a_{2 n} + \dots + a_{2} + a_{0} = a_{2 n + 1} + a_{2 n - 1} + \dots + a_{1}$

$- a_{2 n + 1} + a_{2 n} - a_{2 n - 1} + \dots + a_{2} - a_{1} + a_{0} = 0$

Obliczamy w(-1):

$w (- 1) = a_{2 n + 1} \cdot (- 1)^{2 n + 1} + a_{2 n} \cdot (- 1)^{2 n} + a_{2 n - 1} \cdot (- 1)^{2 n - 1} + \dots + a_{2} \cdot (- 1)^{2} + a_{1} \cdot (- 1)^{1} + a_{0} \cdot (- 1)^{0} =$

$= a_{2 n + 1} \cdot (- 1) + a_{2 n} \cdot 1 + a_{2 n - 1} \cdot (- 1) + \dots + a_{2} \cdot 1 + a_{1} \cdot (- 1) + a_{0} \cdot 1 =$

$= - a_{2 n + 1} + a_{2 n} - a_{2 n - 1} + \dots + a_{2} - a_{1} + a_{0} = 0$

w(-1)=0, więc liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w.

Otrzymaliśmy, że zarówno, gdy wielomian jest stopnia parzystego jak i nieparzystego, liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu, którego suma współczynników przy potęgach parzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach nieparzystych, co należało dowieść.