Rysunek pomocniczy:

---

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 1, więc prosta x=1 jest osią symetrii tej paraboli. Stąd:

$\frac{a+t}{2}=1\mid \cdot 2$  

$a+t=2$  

$a=2-t$  

Wówczas:

$t-a=t-\left(2-t\right)=t-2+t=2t-2$  

---

Pole prostokąta wyraża się wzorem:

$P\left(t\right)=\left(2t-2\right)\cdot \left[{\left(t-1\right)}^2+2\right]=2\left(t-1\right)\left(t^2-2t+1+2\right)=2\left(t-1\right)\left(t^2-2t+3\right)=2\left(t^3-t^2-2t^2+2t+3t-3\right)=2\left(t^3-3t^2+5t-3\right)$  

---

Długości boków prostokąta muszą być liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$2t-2>0\text{i}{\left(t-1\right)}^2+2>0$  

$2\mathrm{tg}t2\mid :2\text{i}\underset{\text{nier. toz˙samosˊciowa}}{{\left(t-1\right)}^2>-2}$  

$\mathrm{tg}t1$  

$t\in \left(1,+\infty \right)$  

Zatem:

$D=\left(1,+\infty \right)$  

---

Pole prostokąta jest równe 24. Stąd:

$P\left(t\right)=24$  

$2\left(t^3-3t^2+5t-3\right)=24\mid :2$  

$t^3-3t^2+5t-3=12$  

$t^3-3t^2+5t-15=0$  

$t^2\left(t-3\right)+5\left(t-3\right)=0$  

$\left(t-3\right)\left(t^2+5\right)=0$  

$t-3=0\text{lub}{t}^2+5=0$  

$t=3\text{lub}\underset{\text{r. sprzeczne}}{t^2=-5}<0$  

$t=3\in D$  

---

Obliczamy współrzędne wierzchołków prostokąta dla t=3:

$a=2-t=2-3=-1$  

${\left(t-1\right)}^2+2={\left(3-1\right)}^2+2=2^2+2=4+2=6$

${\left(a-1\right)}^2+2={\left(-1-1\right)}^2+2={\left(-2\right)}^2+2=4+2=6$  

Zatem wierzchołkami prostokąta są punkty:

$A\left(3,0\right),B\left(3,6\right),C\left(-1,6\right),D\left(-1,0\right)$