$\text{a)}p\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-25\cdot \left(-2\right)+12=2\cdot \left(-8\right)+4+50+12=-16+66=50\ne 0$  

$q\left(-2\right)=3\cdot {\left(-2\right)}^3+14\cdot {\left(-2\right)}^2-25\cdot \left(-2\right)-132=3\cdot \left(-8\right)+14\cdot 4+50-132=-24+56+50-132=-50\ne 0$  

$w\left(-2\right)=p\left(-2\right)+q\left(-2\right)=50-50=0$  

p(-2)≠0 i q(-2)≠0, więc liczba -2 nie jest pierwiastkiem ani wielomianu p, ani q.

w(-2)=0, więc liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w.

---

---

b) Wyznaczamy wielomian w:

$w\left(x\right)=p\left(x\right)+q\left(x\right)=2x^3+x^2-25x+12+3x^3+14x^2-25x-132=5x^3+15x^2-50x-120$  

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+2.

Wykonujemy dzielenie w(x):(x+2), stosując schemat Hornera:

	5	15	-50	-120
-2		-10	-10	120
	5	5	-60	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+2\right)=5x^2+5x-60$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 5x²+5x-60:

$\Delta =25+1200=1225,\sqrt{\Delta }=35$  

$x=\frac{-5-35}{10}=\frac{-40}{10}=-4\text{lub}x=\frac{-5+35}{10}=\frac{30}{10}=3$  

Zatem pierwiastkami wielomianu w są liczby: -4, -2, 3.

---

---

c) Chcemy sprawdzić, że wielomiany p i w oraz q i w mają co najmniej jeden taki sam pierwiastek, więc sprawdzimy, czy liczby -4 i 3 są pierwiastkami wielomianów p i q (w podpunkcie a) sprawdziliśmy, że liczba -2 nie jest pierwiastkiem tych wielomianów).

$p\left(-4\right)=2\cdot {\left(-4\right)}^3+{\left(-4\right)}^2-25\cdot \left(-4\right)+12=2\cdot \left(-64\right)+16+100+12=-128+128=0$  

$p\left(3\right)=2\cdot 3^3+3^2-25\cdot 3+12=2\cdot 27+9-75+12=54+21-75=75-75=0$  

$q\left(-4\right)=3\cdot {\left(-4\right)}^3+14\cdot {\left(-4\right)}^2-25\cdot \left(-4\right)-132=3\cdot \left(-64\right)+14\cdot 16+100-132=-192+224-32=0$  

$q\left(3\right)=3\cdot 3^3+14\cdot 3^2-25\cdot 3-132=3\cdot 27+14\cdot 9-75-132=81+126-207=207-207=0$  

Liczby -4 i 3 są pierwiastkami wielomianów p i q, więc wielomiany p i w oraz q i w mają co najmniej jeden taki sam pierwiastek.

---

---

d) Liczba -4 jest pierwiastkiem wielomianu p, więc wielomian p jest podzielny przez dwumian x+4.

Wykonujemy dzielenie p(x):(x+4), stosując schemat Hornera:

	2	1	-25	12
-4		-8	28	-12
	2	-7	3	0

---

Otrzymujemy:

$p\left(x\right):\left(x+4\right)=2x^2-7x+3$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 2x²-7x+3:

$\Delta =49-24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\text{lub}x=\frac{7+5}{4}=\frac{12}{4}=3$  

Zatem pierwiastkami wielomianu p są liczby:

$-4,\frac{1}{2},3$  

---

Liczba -4 jest pierwiastkiem wielomianu q, więc wielomian q jest podzielny przez dwumian x+4.

Wykonujemy dzielenie q(x):(x+4), stosując schemat Hornera:

	3	14	-25	-132
-4		-12	-8	132
	3	2	-33	0

---

Otrzymujemy:

$q\left(x\right):\left(x+4\right)=3x^2+2x-33$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 3x²+2x-33:

$\Delta =4+396=400,\sqrt{\Delta }=20$  

$x=\frac{-2-20}{6}=\frac{-22}{6}=-\frac{11}{3}\text{lub}x=\frac{-2+20}{6}=\frac{18}{6}=3$  

Zatem pierwiastkami wielomianu q są liczby:

$-4,-\frac{11}{3},3$