Wielomian w jest podzielny przez dwumian x-a, gdy w(a)=0.

---

$\text{a)}w\left(1\right)=1^4-1^3+3\cdot 1^3-5\cdot 1+2=1-1+3-5+2=0$  

w(1)=0, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian q.

---

$\text{b)}w\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^4+{\left(-1\right)}^3-4\cdot {\left(-1\right)}^2-7\cdot \left(-1\right)-5=3-1-4+7-5=0$  

w(-1)=0, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian q.

---

$\text{c)}w\left(2\right)=2\cdot 2^3-2^2-7\cdot 2+3=16-4-14+3=1\ne 0$  

w(2)≠0, więc wielomian w nie jest podzielny przez dwumian q.

---

$\text{d)}w\left(-5\right)=-{\left(-5\right)}^3-4\cdot {\left(-5\right)}^2+4\cdot \left(-5\right)-5=-\left(-125\right)-4\cdot 25-20-5=125-100-20-5=0$  

w(-5)=0, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian q.

---

$\text{e)}$  Zauważmy, że:

$q\left(x\right)=2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)$

Jeśli wielomian będzie podzielny przez pewien dwumian x-a, to będzie także podzielny przez każdą niezerową wielokrotność tego dwumianu - w wyniku dzielenia zmienią się tylko odpowiednio współczynniki przy każdej potędze.

Musimy więc sprawdzić, czy:

$w\left(\frac{1}{2}\right)=0$

Obliczamy:

$w\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{2}-2=2\cdot \frac{1}{8}+3\cdot \frac{1}{4}+1-2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1-2=1+1-2=0$

w(1/2)=0, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian q.