Dla jakich wartości k wyróżnik...- Zadanie 15: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Osią symetrii paraboli y=a(x-x₁)(x-x₂) jest prosta o równaniu x=x_w, gdzie:

$x_{w} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$

$a) y = 4 (x - 3 k + 1) (x + 4 k + 15) = 4 [x - (3 k - 1)] [x - (- 4 k - 15)]$

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_{1} = 3 k - 1, x_{2} = - 4 k - 15$

Obliczamy równanie osi symetrii paraboli:

$x_{w} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{3 k - 1 - 4 k - 15}{2} = \frac{- k - 16}{2} = - \frac{1}{2} k - 8$

Obliczamy drugą współrzędną wierzchołka paraboli (jako wartość trójmianu dla x=x_w):

$y_{w} = 4 (- \frac{1}{2} k - 8 - 3 k + 1) (- \frac{1}{2} x - 8 + 4 k + 15) = 4 (- 3 \frac{1}{2} k - 7) (3 \frac{1}{2} k + 7) = 4 (- \frac{7}{2} k - 7) (\frac{7}{2} k + 7) = - 4 (\frac{7}{2} k + 7) (\frac{7}{2} k + 7) = - 4 (\frac{7}{2} k + 7)^{2} = - 4 [\frac{7}{2} (k + 2)]^{2} = - 4 \cdot \frac{49}{4} (k + 2)^{2} = - 49 (k + 2)^{2}$

Ze wzoru na y_w wyznaczamy wyróżnik Δ:

$y_{w} = - \frac{Δ}{4 a}$

$- 49 (k + 2)^{2} = - \frac{Δ}{4 \cdot 4}$

$- 49 (k + 2)^{2} = - \frac{Δ}{16} ∣ \cdot (- 16)$

$16 \cdot 49 \cdot (k + 2)^{2} = Δ$

$Δ = 16 \cdot 49 \cdot (k + 2)^{2}$

Sprawdzamy, dla jakich wartości k wyróżnik Δ jest równy 0:

$Δ = 0$

$16 \cdot 49 \cdot (k + 2)^{2} = 0 ∣ : (16 \cdot 49)$

$(k + 2)^{2} = 0$

$k + 2 = 0$

$\underline{k = - 2}$

$b) y = 9 (x - 2 k^{2} + 1) (x - 24 + 2 k^{2}) = 9 [x - (2 k^{2} - 1)] [x - (24 - 2 k^{2})]$

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_{1} = 2 k^{2} - 1, x_{2} = 24 - 2 k^{2}$

Obliczamy równanie osi symetrii paraboli:

$x_{w} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{2 k ^{2} - 1 + 24 - 2 k ^{2}}{2} = \frac{23}{2}$

Obliczamy drugą współrzędną wierzchołka paraboli (jako wartość trójmianu dla x=x_w):

$y_{w} = 9 (\frac{23}{2} - 2 k^{2} + 1) (\frac{23}{2} - 24 + 2 k^{2}) = 9 (\frac{23}{2} + \frac{2}{2} - 2 k^{2}) (\frac{23}{2} - \frac{48}{2} + 2 k^{2}) = 9 (\frac{25}{2} - 2 k^{2}) (- \frac{25}{2} + 2 k^{2}) = - 9 (2 k^{2} - \frac{25}{2}) (2 k^{2} - \frac{25}{2}) = - 9 (2 k^{2} - \frac{25}{2})^{2} = - 9 [2 (k^{2} - \frac{25}{4})]^{2} = - 9 \cdot 4 (k^{2} - \frac{25}{4})^{2} = - 36 (k^{2} - \frac{25}{4})^{2}$