W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trapez jest opisany na okręgu, więc:

$2r+y=1,5r+1,5r+x$  

$2r+y=3r+x$  

$y=r+x$  

---

Obwód trapezu wynosi 9. Stąd:

$2\cdot 1,5r+2r+x+y=9$  

$3r+2r+x+y=9$  

$5r+x+y=9$  

Podstawiamy y=r+x.

$5r+x+r+x=9$  

$2x+6r=9\mid :2$  

$x+3r=\frac{9}{2}$  

$x=\frac{9}{2}-3r$  

Wówczas:

$y=r+x=r+\frac{9}{2}-3r=\frac{9}{2}-2r$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BEC:

$x^2+{\left(2r\right)}^2=y^2$  

${\left(\frac{9}{2}-3r\right)}^2+4r^2={\left(\frac{9}{2}-2r\right)}^2$  

$\cancel{\frac{81}{4}}-27r+9r^2+\cancel{4r^2}=\cancel{\frac{81}{4}}-18r+\cancel{4r^2}$  

$9r^2-9r=0\mid :9$  

$r^2-r=0$  

$r\left(r-1\right)=0$  

$r=0\text{lub}r-1=0$  

$r=0\text{lub}r=1$  

Rozwiązanie r=0 odrzucamy, ponieważ promień okręgu musi być liczbą dodatnią. Otrzymujemy:

$r=1$  

---

Obliczamy pole trapezu:

$P=\frac{\left|AB\right|+\left|CD\right|}{2}\cdot \left|EC\right|=\frac{1,5r+x+1,5r}{2}\cdot 2r=\left(3r+x\right)\cdot r=\left(3r+\frac{9}{2}-3r\right)\cdot r=\frac{9}{2}\cdot r=\frac{9}{2}\cdot 1=\frac{9}{2}=4,5$