Twierdzenie cosinusów Dla dowolnego trójkąta (oznaczenia jak na rysunku) prawdziwe są następujące zależności: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$   $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

---

Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku powyżej.

Największy kąt trójkąta wpływa na to, czy jest on ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny, więc wystarczy obliczyć cosinus największego kąta trójkąta (największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku trójkąta).

---

$\text{a)}a=6,b=7,c=8$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta γ:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$  

$8^2=6^2+7^2-2\cdot 6\cdot 7\cdot \cos \gamma$  

$64=36+49-84\cos \gamma$  

$64=85-84\cos \gamma$  

$-21=-84\cos \gamma \mid :\left(84\right)$  

$\cos \gamma =\frac{1}{4}>0$  

Otrzymaliśmy, że cosγ>0, więc:

$\gamma \in \left(0^{\circ },{90}^{\circ }\right)$  

Wobec tego największy kąt trójkąta jest ostry, czyli trójkąt jest ostrokątny.

---

$\text{b)}a=5,b=6,c=9$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta γ:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$  

$9^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos \gamma$  

$81=25+36-60\cos \gamma$  

$81=61-60\cos \gamma$  

$20=-60\cos \gamma \mid :\left(-60\right)$  

$\cos \gamma =-\frac{1}{3}<0$  

Otrzymaliśmy, że cosγ<0, więc:

$\gamma \in \left({90}^{\circ },{180}^{\circ }\right)$  

Wobec tego największy kąt trójkąta jest rozwarty, czyli trójkąt jest rozwartokątny.

---

$\text{c)}a=2,b=\sqrt{13},c=3$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta β:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$  

${\left(\sqrt{13}\right)}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos \beta$  

$13=4+9-12\cos \beta$  

$13=13-12\cos \beta$  

$0=-12\cos \beta \mid :\left(-12\right)$  

$\cos \beta =0$  

Zatem:

$\beta ={90}^{\circ }$  

Wobec tego największy kąt trójkąta jest prosty, czyli trójkąt jest prostokątny.

---

$\text{d)}a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{5}$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta α:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot \cos \alpha$  

$\frac{1}{9}=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}-\frac{1}{10}\cos \alpha \mid \cdot 3600$  

$400=225+144-360\cos \alpha$  

$400=369-360\cos \alpha$  

$31=-360\cos \alpha \mid :\left(-360\right)$  

$\cos \alpha =-\frac{31}{360}<0$  

Otrzymaliśmy, że cosα<0, więc:

$\alpha \in \left({90}^{\circ },{180}^{\circ }\right)$  

Wobec tego największy kąt trójkąta jest rozwarty, czyli trójkąt jest rozwartokątny.

---

$\text{e)}a=\sqrt{3},b=\sqrt{5},c=\sqrt{6}$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta γ:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$  

${\left(\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\cdot \cos \gamma$  

$6=3+5-2\sqrt{15}\cos \gamma$  

$6=8-2\sqrt{15}\cos \gamma$  

$-2=-2\sqrt{15}\cos \gamma \mid :\left(-2\sqrt{15}\right)$  

$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{15}}>0$  

Otrzymaliśmy, że cosγ>0, więc:

$\gamma \in \left(0^{\circ },{90}^{\circ }\right)$  

Wobec tego największy kąt trójkąta jest ostry, czyli trójkąt jest ostrokątny.

---

$\text{f)}a=6,b=\sqrt{8},c=\sqrt{10}$  

Trójkąt o danych bokach nie istnieje, ponieważ nie jest spełniona nierówność trójkąta. Mianowicie:

$b+c=\sqrt{8}+\sqrt{10}=5,9907\dots <6=a$  

Można to również otrzymać, korzystając z twierdzenia cosinusów.

Obliczamy cosinus największego kąta trójkąta, czyli kąta α:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$  

$6^2={\left(\sqrt{8}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2-2\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{10}\cdot \cos \alpha$  

$36=8+10-2\sqrt{80}\cos \alpha$  

$36=18-2\cdot 4\sqrt{5}\cdot \cos \alpha$  

$18=-8\sqrt{5}\cdot \cos \alpha :\left(-8\sqrt{5}\right)$  

$\cos \alpha =-\frac{9}{4\sqrt{5}}=-1,0062\dots <-1$  

Cosinus przyjmuje wyłącznie wartości z przedziału <-1, 1>, wiec wynik cosα<-1 oznacza, że trójkąt o danych bokach nie istnieje.