a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trójkąt AOD ma wszystkie boki o długości r, więc jest równoboczny. Stąd:

$\alpha ={60}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle DOA\right|={60}^{\circ }$  

Kąty DOA i AOC są przyległe, więc:

$\beta ={180}^{\circ }-\left|\sphericalangle DOA\right|={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Kąty DOA i COB są wierzchołkowe, więc:

$\left|\sphericalangle COB\right|=\left|\sphericalangle DOA\right|={60}^{\circ }$  

Trójkąt BOC jest równoramienny i ma kąt między ramionami o mierze 60⁰, więc jest również równoboczny. Stąd:

$\gamma ={60}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}\alpha ={60}^{\circ },\beta ={120}^{\circ },\gamma ={60}^{\circ }.$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trójkąt ABC jest oparty na średnicy okręgu, więc jest prostokątny.

Z sumy kątów dla tego trójkąta:

$\alpha ={90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$  

|CO|=|BO|=r, wiec trójkąt BOC jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle COB\right|={180}^{\circ }-2\alpha ={180}^{\circ }-2\cdot {55}^{\circ }={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$  

Trójkąt BOD ma wszystkie boki o długości r, więc jest równoboczny. Stąd:

$\left|\sphericalangle BOD\right|=\left|\sphericalangle ODB\right|=\left|\sphericalangle DBO\right|={60}^{\circ }$  

Wówczas:

$\left|\sphericalangle COD\right|=\left|\sphericalangle COB\right|+\left|\sphericalangle BOD\right|={70}^{\circ }+{60}^{\circ }={130}^{\circ }$  

|CO|=|DO|=r, więc trójkąt COD jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle ODC\right|=\left({180}^{\circ }-\left|\sphericalangle COD\right|\right):2=\left({180}^{\circ }-{130}^{\circ }\right):2={50}^{\circ }:2={25}^{\circ }$  

Wówczas:

$\beta =\left|\sphericalangle ODB\right|-\left|\sphericalangle ODC\right|={60}^{\circ }-{25}^{\circ }={35}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta BCD obliczamy miarę kąta BCD:

$\left|\sphericalangle BCD\right|={180}^{\circ }-\left(\left|\sphericalangle DBO\right|+\alpha +\beta \right)={180}^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{35}^{\circ }+{35}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{70}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{130}^{\circ }={50}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta BCE obliczamy miarę kąta CEB:

$\left|\sphericalangle CEB\right|={180}^{\circ }-\left(\alpha +\left|\sphericalangle BCD\right|\right)={180}^{\circ }-\left({35}^{\circ }+{50}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{85}^{\circ }={95}^{\circ }$  

Kąty CEB i γ to kąty wierzchołkowe, więc mają równe miary:

$\gamma =\left|\sphericalangle CEB\right|={95}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}\alpha ={35}^{\circ },\beta ={35}^{\circ },\gamma ={95}^{\circ }.$  

---

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trójkąt AOB ma wszystkie boki o długości r, więc jest równoboczny. Stąd:

$\left|\sphericalangle BOA\right|=\left|\sphericalangle OAB\right|=\left|\sphericalangle ABO\right|={60}^{\circ }$  

|BO|=|CO|=r, więc trójkąt BOC jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle OBC\right|=\left|\sphericalangle BCO\right|={20}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle COB\right|={180}^{\circ }-2\left|\sphericalangle BCO\right|={180}^{\circ }-2\cdot {20}^{\circ }={180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$  

$\alpha =\left|\sphericalangle ABO\right|+\left|\sphericalangle OBC\right|={60}^{\circ }+{20}^{\circ }={80}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta wklęsłego COA:

$\left|\sphericalangle COA\right|=\left|\sphericalangle BOA\right|+\left|\sphericalangle COB\right|={60}^{\circ }+{140}^{\circ }={200}^{\circ }$  

Wówczas:

$\beta ={360}^{\circ }-\left|\sphericalangle COA\right|={360}^{\circ }-{200}^{\circ }={160}^{\circ }$  

Kąt wklęsły COA i kąt γ to kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku, więc:

$\gamma =\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle COA\right|=\frac{1}{2}\cdot {200}^{\circ }={100}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}\alpha ={80}^{\circ },\beta ={160}^{\circ },\gamma ={100}^{\circ }.$