$\text{a)}f\left(x\right)=7x^2+2x+3=0$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$7x^2+2x+3=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 7\cdot 3=4-84=-80<0$  

Δ<0, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

$\text{b)}f\left(x\right)=-x^2+4x-1$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$-x^2+4x-1=0$  

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=16-4=12,\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

Δ>0, więc funkcja ma 2 miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4-2\sqrt{3}}{-2}=2+\sqrt{3}\text{lub}{x}_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4+2\sqrt{3}}{-2}=2-\sqrt{3}$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=1+9x^2-6x=9x^2-6x+1$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$9x^2-6x+1=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0$  

Δ=0, więc funkcja ma 1 miejsce zerowe.

$x_0=\frac{6}{2\cdot 9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$  

---

$\text{d)}f\left(x\right)=\sqrt{3}x-3+2x^2=2x^2+\sqrt{3}x-3$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$2x^2+\sqrt{3}x-3=0$  

$\Delta ={\left(\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=3+24=27,\sqrt{\Delta }=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$  

Δ>0, więc funkcja ma 2 miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{3}}{4}=-\sqrt{3}\text{lub}{x}_2=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

---

$\text{e)}f\left(x\right)=\frac{2}{5}{x}^2-x+\frac{\pi }{2}$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{2}{5}{x}^2-x+\frac{\pi }{2}=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{\pi }{2}=1-\frac{4\pi }{5}<0$  

Δ<0, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

$\text{f)}f\left(x\right)=\frac{1}{6}x-x^2+\frac{1}{3}=-x^2+\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}$  

Funkcja f ma miejsca zerowe, gdy równanie f(x)=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.

$f\left(x\right)=0$  

$-x^2+\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}=0$  

$\Delta ={\left(\frac{1}{6}\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}+\frac{4}{3}=\frac{1}{36}+\frac{48}{36}=\frac{49}{36},\sqrt{\Delta }=\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$  

Δ>0, więc funkcja ma 2 miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\frac{1}{6}-\frac{7}{6}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-\frac{8}{6}}{-2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$  

$x_2=\frac{-\frac{1}{6}+\frac{7}{6}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{\frac{6}{6}}{-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$