Linia niebieska i czerwona zbudowane...- Zadanie 19: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Oznaczmy promienie czerwonych półokręgów jako r₁, r₂, r₃ jak na rysunku poniżej:

Na podstawie rysunku możemy zapisać, że:

$2 r_{1} + 2 r_{2} + 2 r_{3} = d$

$2 (r_{1} + r_{2} + r_{3}) = d ∣ : 2$

$r_{1} + r_{2} + r_{3} = \frac{1}{2} d$

Suma długości czerwonych linii jest równa sumie długości trzech półokręgów o promieniach r₁, r₂, r₃.

$L_{cz} = \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{1} + \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{3} = π r_{1} + π r_{2} + π r_{3} = π (r_{1} + r_{2} + r_{3}) = π \cdot \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} π d$

Oznaczmy promienie niebieskich półokręgów jako r₄, r₅, r₆, r₇, jak na rysunku poniżej:

Na podstawie rysunku możemy zapisać, że:

$2 r_{4} + 2 r_{5} + 2 r_{6} + 2 r_{7} = d$

$2 (r_{4} + r_{5} + r_{6} + r_{7}) = d ∣ : 2$

$r_{4} + r_{5} + r_{6} + r_{7} = \frac{1}{2} d$

Suma długości niebieskich linii jest równa sumie długości czterech półokręgów o promieniach r₁, r₂, r₃, r₄.

$L_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{4} + \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{5} + \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{6} + \frac{1}{2} \cdot 2 π r_{7} = π r_{4} + π r_{5} + π r_{6} + π r_{7} = π (r_{4} + r_{5} + r_{6} + r_{7}) = π \cdot \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} π d$