Długość odcinka o końcach w punktach A(xA, yA) i B(xB, yB) wyraża się wzorem: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

---

Rysunek poglądowy:

---

Na podstawie rysunku widzimy, że trójkąt jest równoramienny. Sprawdźmy, że istotnie przynajmniej dwa boki trójkąta mają równe długości.

$\left|AO\right|=\left|x_A-x_O\right|=\left|-8-0\right|=\left|-8\right|=8$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-4-\left(-8\right)\right)}^2+{\left(7\frac{1}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4+8\right)}^2+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}=\sqrt{4^2+\frac{225}{4}}+\sqrt{16+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{64}{4}+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8,5$  

$\left|OB\right|=\sqrt{{\left(-4-0\right)}^2+{\left(7\frac{1}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}=\sqrt{16+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{64}{4}+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8,5$  

Otrzymaliśmy, że |AB|=|OB|, więc trójkąt jest równoramienny. Stąd:

$\left|\sphericalangle BOA\right|=\alpha$  

---

Uzupełniamy rysunek.

---

Z sumy kątów w trójkącie:

$\alpha +\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

$\alpha +\beta ={180}^{\circ }-\alpha$  

Wobec tego wartości funkcji trygonometrycznych kąta α+β są takie same jak wartości funkcji trygonometrycznych kąta 180⁰-α, a te potrafimy łatwo obliczyć, wykorzystując wzory redukcyjne i rysunek.

---

Potrzebne nam będą długości boków trójkąta ABC, więc wyznaczmy te, których nie znamy.

Trójkąt jest równoramienny, więc punkt C jest środkiem boku AO. Stąd:

$\left|AC\right|=\frac{1}{2}\left|AO\right|=\frac{1}{2}\cdot 8=4$  

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:

${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

$4^2+{\left|BC\right|}^2={\left(8,5\right)}^2$  

$16+{\left|BC\right|}^2=72,25$  

${\left|BC\right|}^2=56,25$  

$\left|BC\right|=7,5$  

---

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta α+β:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{7,5}{8,5}=\frac{75}{85}=\frac{15}{17}$  

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=-\cos \alpha =-\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=-\frac{4}{8,5}=-\frac{40}{85}=-\frac{8}{17}$  

$\text{tg}\left(\alpha +\beta \right)=\text{tg}\left({180}^{\circ }-\alpha \right)=-\text{tg}\alpha =-\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=-\frac{7,5}{4}=-\frac{75}{40}=-\frac{15}{8}=-1\frac{7}{8}$