Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem różnym od początku układu współrzędnych, leżącym na ramieniu końcowym kąta α ∈ <0°, 180°>. Wówczas: $\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\text{gdzie}r=\sqrt{x^2+y^2}$   $\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0,\text{czyli}\alpha \ne {90}^{\circ }$

---

Kąt α jest kątem rozwartym, więc α ∈ (90°, 180°). Wobec tego punkt A(x_A, y_A), leżący na końcowym ramieniu kąta, leży w II ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$x_A<0,y_A>0$  

---

$\text{a)}\text{tg}\alpha =-1\frac{1}{3}$  

$\text{tg}\alpha =-\frac{4}{3}$  

$\frac{y_A}{x_A}=\frac{4}{-3}$  

Możemy więc przyjąć, że:

$x_A=-3y_A=4$  

(można tu podać dowolne wielokrotności tych liczb, np. x_A=-6, y_A=8 - nie wpłynie to na wynik)

Wówczas:

$r_A=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$  

Obliczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α:

$\sin \alpha =\frac{y_A}{r_A}=\frac{4}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{x_A}{r_A}=-\frac{3}{5}$  

---

$\text{b)}\cos \alpha =-\frac{7}{25}$  

$\frac{x_A}{r_A}=\frac{-7}{25}$  

Możemy więc przyjąć, że:

$x_A=-7,r_A=25$  

(można tu podać dowolne wielokrotności tych liczb, np. x_A=-14, r_A=50 - nie wpłynie to na wynik)

Obliczamy y_A:

$\sqrt{x_A^2+y_A^2}=r_A$  

$\sqrt{{\left(-7\right)}^2+y_A^2}=25$  

$\sqrt{49+y_A^2}=25\mid {}^2$  

$49+y_A^2=625$  

$y_A^2=576$  

$y_A=24>0\text{lub}{y}_A=-24<0-\text{odrzucamy}$  

Ujemną wartość y_A odrzucamy, ponieważ punkt A leży w II ćwiartce układu współrzędnych. Otrzymujemy:

$y_A=24$  

Obliczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α:

$\sin \alpha =\frac{y_A}{r_A}=\frac{24}{25}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y_A}{x_A}=\frac{24}{-7}=-\frac{24}{7}=-3\frac{3}{7}$  

---

$\text{c)}\sin \alpha =\frac{21}{29}$  

$\frac{y_A}{r_A}=\frac{21}{29}$  

Możemy więc przyjąć, że:

$y_A=21,r_A=29$  

(można tu podać dowolne wielokrotności tych liczb, np. y_A=42, r_A=58 - nie wpłynie to na wynik)

Obliczamy x_A:

$\sqrt{x_A^2+y_A^2}=r_A$  

$\sqrt{x_A^2+{21}^2}=29$  

$\sqrt{x_A^2+441}=29\mid {}^2$  

$x_A^2+441=841$  

$x_A^2=400$  

$x_A=-20<0\text{lub}{x}_A=20>0-\text{odrzucamy}$  

Dodatnią wartość x_A odrzucamy, ponieważ punkt A leży w II ćwiartce układu współrzędnych. Otrzymujemy:

$x_A=-20$  

Obliczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α:

$\cos \alpha =\frac{x_A}{r_A}=-\frac{20}{29}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y_A}{x_A}=\frac{21}{-20}=-\frac{21}{20}=-1\frac{1}{20}$