Oznaczmy:

n, n+1, n+2 - długości boków trójkąta, gdzie n ∈ N₊

---

Obwód trójkąta jest równy 30. Stąd:

$n+n+1+n+2=30$  

$3n+3=30$  

$3n=27\mid :3$  

$n=9$  

Wówczas:

$n+1=9+1=10$  

$n+2=9+2=11$  

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC:

${\left(11-x\right)}^2+h^2={10}^2$  

$h^2=100-{\left(11-x\right)}^2$  

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBC:

$x^2+h^2=9^2$  

Podstawimy h²=100-(11-x)².

$x^2+100-{\left(11-x\right)}^2=81$  

$x^2-{\left(11-x\right)}^2=-19$  

$x^2-\left(121-22x+x^2\right)=-19$

$x^2-121+22x-x^2=-19$  

$22x=102\mid :22$  

$x\approx 4,64$  

Wówczas:

$11-x\approx 11-4,64=6,36$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADC:

$\cos \alpha =\frac{11-x}{10}\approx \frac{6,36}{10}=0,636$  

$\alpha \approx {50}^{\circ }$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta DBC:

$\cos \beta =\frac{x}{9}\approx \frac{4,64}{9}\approx 0,5156$  

$\beta \approx {59}^{\circ }$  

---

Z sumy kątów dla trójkąta ABC:

$\gamma ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\approx {180}^{\circ }-\left({50}^{\circ }+{59}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{109}^{\circ }={71}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}\left|AB\right|=11,\text{AC}=10,\left|BC\right|=9,\alpha \approx {50}^{\circ },\beta \approx {59}^{\circ },\gamma \approx {71}^{\circ }.$