$\text{a)}\frac{x-2}{x}-\frac{1}{x-2}=\frac{3x+4}{x^2-2x}$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x\ne 0\text{i}x-2\ne 0\text{i}{x}^2-2x\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x-2\ne 0\text{i}x\left(x-2\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x\ne 2$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{0,2\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x-2}{x}-\frac{1}{x-2}=\frac{3x+4}{x^2-2x}$  

$\frac{x-2}{x}-\frac{1}{x-2}=\frac{3x+4}{x\left(x-2\right)}\mid \cdot x\left(x-2\right)$  

${\left(x-2\right)}^2-x=3x+4$  

$x^2-4x+4-4x-4=0$  

$x^2-8x=0$  

$x\left(x-8\right)=0$  

$x=0\text{lub}x-8=0$  

$x=0\notin D\text{lub}x=8\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 8.

---

$\text{b)}\frac{3x+6}{x+1}-\frac{2x+4}{x+4}=\frac{3x}{x^2+5x+4}$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x+1\ne 0\text{i}x+4\ne 0\text{i}\underset{\Delta =25-16=9,\sqrt{\Delta }=3}{x^2+5x+4\ne 0}$  

$x\ne -1\text{i}x\ne -4\text{i}x\ne \frac{-5-3}{2}=-4\text{i}x\ne \frac{-5+3}{2}=-1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,-1\right\}$  

Korzystając z powyższych obliczeń możemy zapisać, że:

$x^2+5x+4=\left(x+1\right)\left(x+4\right)$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{2x+4}{x+4}=\frac{3x}{x^2+5x+4}$  

$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{2x+4}{x+4}=\frac{3x}{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}\mid \cdot \left(x+1\right)\left(x+4\right)$  

$\left(3x+6\right)\left(x+4\right)-\left(2x+4\right)\left(x+1\right)=3x$  

$3x^2+12x+6x+24-\left(2x^2+2x+4x+4\right)=3x$  

$3x^2+18x+24-\left(2x^2+6x+4\right)=3x$  

$3x^2+18x+24-2x^2-6x-4=3x$  

$x^2+12x+20=3x$  

$x^2+9x+20=0$  

$\Delta =81-80=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x=\frac{-9-1}{2}=\frac{-10}{2}=-5\in D\text{lub}x=\frac{-9+1}{2}=\frac{-8}{2}=-4\notin D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba -5.

---

$\text{c)}\frac{3+x}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x}+1$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x\ne 0\text{i}x-1\ne 0\text{i}{x}^2-x\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x-1\ne 0\text{i}x\left(x-1\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x\ne 1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{0,1\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{3+x}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x}+1$  

$\frac{3+x}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x\left(x-1\right)}+1\mid \cdot x\left(x-1\right)$  

$\left(3+x\right)\left(x-1\right)+4x=5-x+x\left(x-1\right)$  

$3x-3+x^2-x+4x=5-x+x^2-x$  

$x^2+6x-3=x^2-2x+5$  

$8x=8\mid :8$  

$x=1\notin D$  

Równanie nie ma rozwiązań.

---

$\text{d)}1+\frac{4}{x^2+3x+9}=\frac{x-2}{x-3}-\frac{6x+9}{x^3-27}$  

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$\underset{\Delta =9-36<0}{x^2+3x+9\ne 0}\text{i}x-3\ne 0$  

$x\in \mathbf{R}\text{i}x\ne 3$  

$x\ne 3$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{3\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

$1+\frac{4}{x^2+3x+9}=\frac{x-2}{x-3}-\frac{6x+9}{x^3-27}$  

$1+\frac{4}{x^2+3x+9}=\frac{x-2}{x-3}-\frac{6x+9}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}\mid \cdot \left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)$  

$\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)+4\left(x-3\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+3x+9\right)-\left(6x+9\right)$  

$x^3-27+4x-12=x^3+3x^2+9x-2x^2-6x-18-6x-9$  

$x^3+4x-39=x^3+x^2-3x-27$  

$-x^2+7x-12=0\mid \cdot \left(-1\right)$   

$x^2-7x+12=0$  

$\Delta =49-48=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3\notin D\text{lub}x=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 4.