Jeśli a>0, to |x|<a wtedy i tylko wtedy, gdy x<a i x>-a, |x|>a wtedy i tylko wtedy, gdy x>a lub x<-a. Dla każdego a ∈ R zachodzi równość: $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$

---

$\text{a)}\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}\ge 2$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|x-3\right|\ge 2$  

$x-3\ge 2\text{lub}x-3\le -2$  

$x\ge 5\text{lub}x\le 1$  

$\underline{x\in (-\infty ,1⟩\cup ⟨5,+\infty )}$  

---

$\text{b)}\sqrt{{\left(6-x\right)}^2}>7$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|6-x\right|>7$  

$\left|x-6\right|>7$  

$x-6>7\text{lub}x-6<-7$  

$x>13\text{lub}x<-1$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(13,+\infty \right)}$  

---

$\text{c)}\sqrt{9x^2}>6$  

$\sqrt{{\left(3x\right)}^2}>6$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|3x\right|>6$  

$3x>6\text{lub}3x<-6\mid :3$  

$x>2\text{lub}x<-2$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)}$  

---

$\text{d)}\sqrt{\frac{x^2}{4}}\ge 9$  

$\sqrt{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\ge 9$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|\frac{x}{2}\right|\ge 9$  

$\frac{x}{2}\ge 9\text{lub}\frac{x}{2}\le -9\mid \cdot 2$  

$x\ge 18\text{lub}x\le -18$  

$\underline{x\in (-\infty ,-18⟩\cup ⟨18,+\infty )}$  

---

$\text{e)}\sqrt{{\left(3x+1\right)}^2}\ge 2$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|3x+1\right|\ge 2$  

$3x+1\ge 2\text{lub}3x+1\le -2$  

$3x\ge 1\text{lub}3x\le -3\mid :3$  

$x\ge \frac{1}{3}\text{lub}x\le -1$  

$\underline{x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨\frac{1}{3},+\infty )}$  

---

$\text{f)}\sqrt{{\left(5-2x\right)}^2}\ge 3$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|5-2x\right|\ge 3$  

$\left|2x-5\right|\ge 3$  

$2x-5\ge 3\text{lub}2x-5\le -3$  

$2x\ge 8\text{lub}2x\le 2\mid :2$  

$x\ge 4\text{lub}x\le 1$  

$\underline{x\in (-\infty ,1⟩\cup ⟨4,+\infty )}$  

---

$\text{g)}\sqrt{1-6x+9x^2}\ge \frac{1}{3}$  

$\sqrt{{\left(1-3x\right)}^2}\ge \frac{1}{3}$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|1-3x\right|\ge \frac{1}{3}$  

$\left|3x-1\right|\ge \frac{1}{3}$  

$3x-1\ge \frac{1}{3}\text{lub}3x-1\le -\frac{1}{3}$  

$3x\ge 1\frac{1}{3}\text{lub}3x\le \frac{2}{3}$  

$3x\ge \frac{4}{3}\text{lub}3x\le \frac{2}{3}\mid \cdot \frac{1}{3}$  

$x\ge \frac{4}{9}\text{lub}x\le \frac{2}{9}$  

$\underline{x\in (-\infty ,\frac{2}{9}⟩\cup ⟨\frac{4}{9},+\infty )}$  

---

$\text{h)}\sqrt{4x^2+12x+9}>0,5$  

$\sqrt{{\left(2x+3\right)}^2}>\frac{1}{2}$  

Pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych: D=R.

Korzystamy z własności podanej w ramce.

$\left|2x+3\right|>\frac{1}{2}$  

$2x+3>\frac{1}{2}\text{lub}2x+3<-\frac{1}{2}$  

$2x>-2\frac{1}{2}\text{lub}2x<-3\frac{1}{2}$  

$2x>-\frac{5}{2}\text{lub}2x<-\frac{7}{2}\mid \cdot \frac{1}{2}$  

$x>-\frac{5}{4}\text{lub}x<-\frac{7}{4}$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-\frac{7}{4}\right)\cup \left(-\frac{5}{4},+\infty \right)}$