Rysunek pomocniczy:

---

 

$\text{a)}$  

$P=\frac{1}{2}\cdot 10,5\cdot 5\cdot \sin \beta$  

$P=\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{2}\cdot 5\cdot 0,8$

$P=\frac{105}{4}\cdot \frac{8}{10}$

$P=\frac{105}{1}\cdot \frac{2}{10}$  

$P=105\cdot \frac{1}{5}$

$P=21$  

---

$\text{b)}$  

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${\left(0,8\right)}^2+{\cos }^2\beta =1$  

${\cos }^2\beta =0,36$  

$\cos \beta =0,6\vee \cos \beta =-0,6$  

 

Przypadek I.

$\cos \beta =0,6$  

Korzystając z tw. cosinusów:

${\left|AC\right|}^2={\left(10,5\right)}^2+5^2-2\cdot 10,5\cdot 5\cdot 0,6$  

${\left|AC\right|}^2=110,25+25-63$  

${\left|AC\right|}^2=72,25$  

$\left|AC\right|=\sqrt{72,25}$  

$\left|AC\right|=8,5\left[\text{cm}\right]$  

 

Przypadek II.

$\cos \beta =-0,6$  

Korzystając z tw. cosinusów:

${\left|AC\right|}^2={\left(10,5\right)}^2+5^2-2\cdot 10,5\cdot 5\cdot \left(-0,6\right)$  

${\left|AC\right|}^2=110,25+25+63$  

${\left|AC\right|}^2=198,25$  

$\left|AC\right|=\sqrt{198,25}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{\frac{793}{4}}$  

$\left|AC\right|=\frac{\sqrt{793}}{2}\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{c)}$  

Korzystając z tw. sinusów mamy:

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \beta }=2R$  

$\frac{\left|AC\right|}{2\sin \beta }=R$  

$\frac{8,5}{2\cdot 0,8}=R\vee \frac{\frac{\sqrt{793}}{2}}{2\cdot 0,8}=R$  

$\frac{85}{16}=R\vee \frac{\sqrt{793}}{3,2}=R$  

$5\frac{5}{16}\left[\text{cm}\right]=R\vee \frac{5}{16}\sqrt{793}\left[\text{cm}\right]=R$