$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy: 

$5^2+{12}^2={\left|AB\right|}^2$  

$25+144={\left|AB\right|}^2$  

$169={\left|AB\right|}^2$  

$13=\left|AB\right|$  

 

Zauważmy, że trójkąty ABC i CDA są podobne (na mocy cechy kąt-kąt-kąt).

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|CB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{12}{13}=\frac{\left|CD\right|}{5}$  

$\frac{12}{13}\cdot 5=\left|CD\right|$  

$\frac{60}{13}=\left|CD\right|$  

$4\frac{8}{13}\left[\text{cm}\right]=\left|CD\right|$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że E to środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, zatem:

$\left|AB\right|=2\cdot \left|CE\right|=2\cdot 5=10$  

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$6^2+{\left|CB\right|}^2={10}^2$  

$36+{\left|CB\right|}^2=100$  

${\left|CB\right|}^2=64$  

$\left|CB\right|=8$  

 

Zauważmy, że trójkąty ABC i CDA są podobne (na mocy cechy kąt-kąt-kąt).

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|CB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{8}{10}=\frac{\left|CD\right|}{6}$  

$\frac{8}{10}\cdot 6=\left|CD\right|$  

$\frac{48}{10}=\left|CD\right|$  

$4,8\left[\text{cm}\right]=\left|CD\right|$