a)
Zauważmy, że punkt (0,0) to środek okręgu.
Równanie okręgu:
x2+y2=52
x2+y2=25
Wyznaczmy równanie prostej k, czyli prostej przechodzącej przez punkty (0,0) i (-1, 2).
y=ax+b
{0=a⋅0+b2=a⋅(−1)+b
{0=b−2=a
Zatem:
y=−2x
Wyznaczmy punkty przecięcia tych krzywych.
{x2+y2=25y=−2x
{x2+(−2x)2=25y=−2x
{x2+4x2=25y=−2x
{5x2=25y=−2x
{x2=5y=−2x
{x=5y=−2x ∨ {x=−5y=−2x
{x=5y=−25 ∨ {x=−5y=25
b)
Zauważmy, że punkt (0,2) to środek okręgu.
Równanie okręgu:
x2+(y−2)2=r2
x2+(y−2)2=22+42
x2+(y−2)2=20
Wyznaczmy równanie prostej k, czyli prostej przechodzącej przez punkty (0, -3) i (6, 0).
y=ax+b
{−3=a⋅0+b0=6a+b
{−3=b0=6a−3
{−3=ba=21
Zatem:
y=21x−3
Wyznaczmy punkty przecięcia tych krzywych.
{x2+(y−2)2=20y=21x−3
{x2+(21x−3−2)2=20y=21x−3
{x2+(21x−5)2=20y=21x−3
{x2+41x2−5x+25−20=0y=21x−3
{45x2−5x+5=0 ∣:5y=21x−3
{41x2−x+1=0y=21x−3
Δ=(−1)2−4⋅41⋅1=1−1=0
x=2⋅411=211=2
{x=2y=21⋅2−3
{x=2y=−2
c)
Równanie paraboli:
y=a(x+6)(x−2)
Podstawiając współrzędne punktu (0, -3) mamy:
−3=a(0+6)(0−2)
−3=a⋅6⋅(−2)
−3=−12a
41=a
Zatem:
y=41(x+6)(x−2)
Wyznaczmy równanie prostej k, czyli prostej przechodzącej przez punkty (-7, 0) i (0, -7).
y=ax+b
{0=a⋅(−7)+b−7=a⋅0+b
{7a=b−7=b
{7a=−7b=−7
{a=−1b=−7
Zatem:
y=−x−7
Wyznaczmy punkty przecięcia tych krzywych.
{y=41(x+6)(x−2)y=−x−7
{(−x−7=41(x2−2x+6x−12),(y=−x−7)
{−x−7=41x2+x−3y=−x−7
{0=41x2+2x+4y=−x−7
Δ=22−4⋅41⋅4=4−4=0
x=2⋅41−2=21−2=−2⋅2=−4
{x=−4y=4−7
{x=−4y=−3
d)
Równanie paraboli:
y=a(x−2)2+3
Podstawiając współrzędne punktu (0, -1) mamy:
−1=a(0−2)2+3
−4=4a
−1=a
Zatem:
y=−(x−2)2+3
Wyznaczmy równanie prostej k, czyli prostej przechodzącej przez punkty (0, -1) i (3, 0).
y=ax+b
{−1=a⋅0+b0=3a+b
{−1=b−3a=−1
{b=−1a=31
Zatem:
y=31x−1
Wyznaczmy punkty przecięcia tych krzywych.
{y=−(x−2)2+3y=31x−1
{31x−1=−(x2−4x+4)+3y=31x−1
{31x−1=−x2+4x−4+3y=31x−1
{0=−x2+332xy=31x−1
{0=−x2+311xy=31x−1
{0=−x(x−311)y=31x−1
{x=0y=31x−1 ∨ {x=311y=31x−1
{x=0y=−1 ∨ {x=311y=31⋅311−1
{x=0y=−1 ∨ {x=311y=911−99
{x=0y=−1 ∨ {x=311y=92
