Z treści zadania wiemy, że:

$\alpha \in \left({90}^{\circ },{180}^{\circ }\right)$  

Skoro kąt α leży w II ćwiartce układu współrzędnych, to: 

$\mathrm{tg}\alpha <0\text{i}\mathrm{ctg}\alpha <0$  

$-\mathrm{tg}\alpha >0\text{i}-\mathrm{ctg}\alpha >0$  

 

Zatem otrzymujemy:

${\left(\sqrt{-\mathrm{tg}\alpha }-\sqrt{-\mathrm{ctg}\alpha }\right)}^2\ge 0$  

${\sqrt{-\mathrm{tg}\alpha }}^2-2\sqrt{-\mathrm{tg}\alpha }\cdot \sqrt{-\mathrm{ctg}\alpha }+{\sqrt{-\mathrm{ctg}\alpha }}^2)\ge 0$  

$-\mathrm{tg}\alpha -2\sqrt{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{ctg}\alpha }-\mathrm{ctg}\alpha \ge 0$  

$-\mathrm{tg}\alpha -2-\mathrm{ctg}\alpha \ge 0$  

$-2\ge \mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha$  

Zatem pokazaliśmy, że największa wartość wyrażenia  $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha$   jest równa  $-2.$