Zauważmy, że kąty ACD i ABD to kąty wpisane oparte na tym samym łuku, zatem:  

$\left|\sphericalangle ACD\right|=\left|\sphericalangle ABD\right|$  

 

Zauważmy, że kąty CAB i BDC to kąty wpisane oparty na tym samym łuku, zatem:

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\left|\sphericalangle BDC\right|$  

 

Zauważmy, że kąty CPA i DPB to kąty wierzchołkowe, zatem mają tą samą miarę.

Zatem pokazaliśmy, że odpowiednie kąty trójkąta APC są równe odpowiednim kątom trójkąta DBP.

Zatem trójkąty APC i BPD są podobne.

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|PA\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|PD\right|}{\left|PB\right|}$  

Zatem:

$\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|=\left|PC\right|\cdot \left|PD\right|$  

Co należało pokazać.