$\text{a)}$  

Zauważmy, że kąt wpisany $\alpha$   jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy ${45}^{\circ }+{61}^{\circ }.$  

Zatem otrzymujemy:  

$2\alpha ={45}^{\circ }+{61}^{\circ }$  

$2\alpha ={106}^{\circ }$  

$\alpha ={53}^{\circ }$  

---

$\text{b)}$  

Zauważmy, że kąt wpisany $\alpha +{36}^{\circ }$   jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy ${120}^{\circ }.$  

Zatem otrzymujemy:

$2\cdot \left(\alpha +{36}^{\circ }\right)={120}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha +{36}^{\circ }={60}^{\circ }\mid -{36}^{\circ }$  

$\alpha ={24}^{\circ }$  

---

$\text{c)}$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że kąt wpisany ${49}^{\circ }$   jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy AOB.

Zatem otrzymujemy: 

$\beta =2\cdot {49}^{\circ }$  

$\beta ={98}^{\circ }$  

Z sumy miar kątów w trójkącie AOB otrzymujemy:

$\alpha +\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

$2\alpha +{98}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$2\alpha ={82}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={41}^{\circ }$  

---

$\text{d)}$  

Zauważmy, że kąt wpisany ${125}^{\circ }$   jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy ${360}^{\circ }-\alpha .$  

$2\cdot {125}^{\circ }={360}^{\circ }-\alpha$  

${250}^{\circ }={360}^{\circ }-\alpha$  

$\alpha ={360}^{\circ }-{250}^{\circ }$  

$\alpha ={110}^{\circ }$  

---

$\text{e)}$  

Zauważmy, że kąt wpisany $\alpha$   jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy ${180}^{\circ }-{100}^{\circ }.$  

Zatem otrzymujemy:

$2\alpha ={180}^{\circ }-{100}^{\circ }$  

$2\alpha ={80}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={40}^{\circ }$  

---

$\text{f)}$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że kąt wpisany BAC jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy BOC, zatem:

$\left|\sphericalangle BOC\right|=2\cdot {40}^{\circ }={80}^{\circ }$  

Zatem kąt środkowy AOC ma miarę:

$\left|\sphericalangle AOC\right|={50}^{\circ }+{80}^{\circ }={130}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąt wpisany ADC jest oparty na takim samym łuku jak kąt środkowy AOC, zatem:

$\left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{1}{2}\cdot {130}^{\circ }={65}^{\circ }$