Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli funkcji f.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac{4}{3}}{2\cdot \frac{1}{6}}=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}}=-4$  

$\Delta ={\left(\frac{4}{3}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{-10}{3}=\frac{16}{9}+\frac{40}{18}=\frac{16}{9}+\frac{20}{9}=\frac{36}{9}$      

$q=\frac{-\frac{36}{9}}{4\cdot \frac{1}{6}}=\left(-\frac{36}{9}\right)\cdot \frac{6}{4}=-\frac{9}{9}\cdot \frac{6}{1}=-6$  

Zatem wierzchołek ma współrzędne  $W\left(-4,-6\right).$  

 

Wyznaczmy większe z miejsc zerowych funkcji f.

$x=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}}{2\cdot \frac{1}{6}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=2$  

Zatem do wykresu funkcji g należy punkt $C\left(2,0\right).$  

 

Osią symetrii funkcji f jest prosta $x=0,$   zatem funkcja jest postaci:

$y=a{\left(x-0\right)}^2+q$  

$y=a{x}^2+q$  

Podstawiając współrzędne punktów C oraz W otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}0=a\cdot 2^2+q\\ -6=a\cdot {\left(-4\right)}^2+q\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=4a+q\\ -6=16a+q\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4a=q\\ -6=16a-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4a=q\\ -6=12a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4a=q\\ -\frac{1}{2}=a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=q\\ -\frac{1}{2}=a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=q\\ -\frac{1}{2}=a\end{array}$  

Zatem otrzymujemy:

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2$  

 

Rozwiążmy nierówności  $f\left(x\right)\le g\left(x\right).$  

$\frac{1}{6}{x}^2+\frac{4}{3}x-3\frac{1}{3}\le -\frac{1}{2}{x}^2+2\mid \cdot 6$  

$x^2+8x-20\le -3x^2+12$  

$4x^2+8x-32\le 0\mid :4$  

$x^2+2x-8\le 0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$x_1=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Zatem otrzymujemy:

$x\in ⟨-4,2⟩$