Oznaczmy długość podstawy jako a, długość wysokości opuszczoną na tę podstawę jako h. 

Z treści zadania wiemy, że: 

$a+h=12$  

$h=12-a$  

 

Długości wysokości i podstawy są liczbami dodatnimi, więc wprowadźmy założenia: 

$a>0,h>0$  

$a>0,12-a>0$  

$a>0,12>a$  

Zatem:

$a\in \left(0,12\right)$  

 

Zapiszmy pole tego trójkąta jako funkcję w zależności od wartości parametru a.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$  

$P\left(a\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \left(12-a\right)$  

$P\left(a\right)=6a-\frac{1}{2}{a}^2$  

Zauważmy, że otrzymana funkcja to parabola, której ramiona są skierowane w dół.

Wartość największa jest osiągana w wierzchołku tej paraboli.

$a_{\max }=\frac{-6}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}$  

$a_{\max }=\frac{-6}{-1}$  

$a_{\max }=6$  

 

Zatem otrzymujemy:

$a=6\left[\text{cm}\right]$  

$h=12-6=6\left[\text{cm}\right]$  

Zatem największe pole jest osiągane dla trójkąta o podstawie 6 cm i wysokości 6 cm.

Pozostało jeszcze obliczyć długość ramienia tego trójkąta: 

$6^2+3^2=b^2$  

$36+9=b^2$  

$b^2=45$  

$b=\sqrt{45}$  

$b=3\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$   

 

Odp. Długości boków trójkąta mającego największe pole to 6 cm, 3√5 cm, 3√5 cm.