a)

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-4$  

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)=1+8=9$  

$p=\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1$  

$q=\frac{-9}{4\cdot \frac{1}{2}}=\frac{-9}{2}=-4\frac{1}{2}$  

$W\left(-1,-4\frac{1}{2}\right)$         

 

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot \frac{1}{2}}=-4$  

$x_2=\frac{-1+3}{2\cdot \frac{1}{2}}=2$  

 

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=⟨-4\frac{1}{2},+\infty )$  

Miejsca zerowe: $x=-4$   i   $x=2$  .

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-4,2\right)$  

Funkcja jest malejąca w przedziale  $(-\infty ,-1⟩,$   funkcja jest rosnąca w przedziale  $⟨-1,+\infty ).$  

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą  $-4\frac{1}{2}$   dla argumentu  $x=-1.$  

Funkcja nie osiąga wartości największej.

---

b) 

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+8$  

$\Delta =0^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 8=16$  

$p=0$  

$q=\frac{-16}{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-16}{-2}=8$  

$W\left(0,8\right)$  

 

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-16\right)$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x-4\right)\left(x+4\right)$  

$x_1=4,x_2=-4$  

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=(-\infty ,8⟩$  

Miejsca zerowe: $x=-4$   i $x=4$  .

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-4,4\right)$  

Funkcja jest rosnąca w przedziale  $(-\infty ,0⟩,$   funkcja jest malejąca w przedziale  $⟨0,+\infty ).$  

Funkcja osiąga wartość największą równą  $x=0.$  

Funkcja nie osiąga wartości najmniejszej.

---

c)

$f\left(x\right)=-x^2-4x-4$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-4\right)=16-16=0$  

$p=\frac{4}{-2}=-2$  

$q=0$  

$W\left(-2,0\right)$  

 

$f\left(x\right)=-\left(x^2+4x+4\right)$  

$f\left(x\right)=-{\left(x+2\right)}^2$  

$x_0=-2$  

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=(-\infty ,0⟩$  

Miejsca zerowe:   $x=-2$  .

$f\left(x\right)<0\iff x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Funkcja jest rosnąca w przedziale  $(-\infty ,-2⟩$.

Funkcja osiąga wartość największą równą  $x=-2.$  

Funkcja nie osiąga wartości najmniejszej.

---

d)

$f\left(x\right)=-x^2+6x$  

$\Delta =6^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 0=36$  

$p=\frac{-6}{-2}=3$  

$q=\frac{-36}{-4}=9$  

$W\left(3,9\right)$  

 

$f\left(x\right)=-x\left(x-6\right)$  

$x_1=0,x_2=6$  

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=(-\infty ,9⟩$  

Miejsca zerowe: $x=0$   i   $x=6$  .

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(6,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(0,6\right)$  

Funkcja jest rosnąca w przedziale  $(-\infty ,3⟩,$   funkcja jest malejąca w przedziale  $⟨3,+\infty ).$  

Funkcja osiąga wartość największą równą  $x=3.$  

Funkcja nie osiąga wartości najmniejszej.

---

e)

$f\left(x\right)=3x^2-6x+4$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12<0$  

Brak miejsc zerowych.

$p=\frac{6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$  

$q=\frac{12}{4\cdot 3}=\frac{12}{12}=1$  

$W\left(1,1\right)$  

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=⟨1,+\infty )$  

Miejsca zerowe: brak .

$f\left(x\right)>0\iff x\in \mathbb{R}$  

Funkcja jest malejąca w przedziale  $(-\infty ,1⟩,$   funkcja jest rosnąca w przedziale  $⟨1,+\infty ).$  

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą  $1$   dla argumentu  $x=1.$  

Funkcja nie osiąga wartości największej.

---

f)

$f\left(x\right)=4x^2+4x-1$  

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=16+16=32$  

$p=\frac{-4}{2\cdot 4}=-\frac{1}{2}$  

$q=\frac{-32}{4\cdot 4}=\frac{-32}{16}=-2$  

$W\left(-\frac{1}{2},-2\right)$  

 

$x_1=\frac{-4-\sqrt{32}}{2\cdot 4}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{1+\sqrt{2}}{2}$  

$x_2=\frac{-4+\sqrt{32}}{2\cdot 4}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{8}=-\frac{1-\sqrt{2}}{2}$  

 

Wykres:

Własności funkcji:

$D=\mathbb{R}$  

$ZW=⟨-2,+\infty )$  

Miejsca zerowe: $x=-\frac{1+\sqrt{2}}{2}$   i   $x=-\frac{1-\sqrt{2}}{2}$  .

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(-\frac{1-\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$  

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\frac{1+\sqrt{2}}{2},-\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)$  

Funkcja jest malejąca w przedziale  $(-\infty ,-\frac{1}{2}⟩,$   funkcja jest rosnąca w przedziale  $⟨-\frac{1}{2},+\infty ).$  

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą  $x=-\frac{1}{2}.$  

Funkcja nie osiąga wartości największej.