$\text{a)}$  

Z sumy miar kątów w trójkącie mamy:

$\gamma ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Z tw. sinusów mamy:   

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\frac{a}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{\sqrt{27}}{\sin {120}^{\circ }}$  

$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{27}}{\sin \left({90}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)}$  

$2a=\frac{3\sqrt{3}}{\cos {30}^{\circ }}$  

$2a=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$  

$2a=3\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$a=3$  

 

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{3}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {30}^{\circ }}$  

$3=b$  

---

$\text{b)}$

Z tw. sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{4}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{2\sqrt{6}}{\sin \beta }$  

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sin \beta }$  

$4\cdot \sin \beta =2\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$4\sin \beta =\sqrt{12}$  

$4\sin \beta =2\sqrt{3}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\sin \beta =\sin {60}^{\circ }\vee \sin \beta =\sin {120}^{\circ }$  

$\beta ={60}^{\circ }\vee \beta ={120}^{\circ }$  

 

Przypadek I.

$\beta ={60}^{\circ }$  

Wtedy mamy:

$\gamma ={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{45}^{\circ }={75}^{\circ }$  

 

Z tw. cosinusów mamy:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$  

$4^2={\left(2\sqrt{6}\right)}^2+c^2-2\cdot 2\sqrt{6}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$16=24+c^2-2\sqrt{12}c$  

$0=c^2-4\sqrt{3}c+8$  

$\Delta ={\left(-4\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=48-32=16$  

$c_1=\frac{4\sqrt{3}-4}{2}=2\sqrt{3}-2$      sprzeczność, ponieważ c jest najdłuższym bokiem (leży naprzeciwko największego kąta)

$c_2=\frac{4\sqrt{3}+3}{2}=2\sqrt{3}+2$  

 

Przypadek II.

$\beta ={120}^{\circ }$  

Wtedy mamy:

$\gamma ={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{120}^{\circ }={15}^{\circ }$  

 

Z tw. cosinusów mamy:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$  

$4^2={\left(2\sqrt{6}\right)}^2+c^2-2\cdot 2\sqrt{6}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$16=24+c^2-2\sqrt{12}c$  

$0=c^2-4\sqrt{3}c+8$  

$\Delta ={\left(-4\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=48-32=16$  

$c_1=\frac{4\sqrt{3}-4}{2}=2\sqrt{3}-2$      

$c_2=\frac{4\sqrt{3}+3}{2}=2\sqrt{3}+2$       sprzeczność, ponieważ c jest najkrótszym bokiem (leży naprzeciwko najmniejszego kąta)