Załóżmy, że kąt 150^o jest w położeniu standardowym.

Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt P, by jego pierwsza współrzędna była równa -1.

Oznaczmy:

$P\left(-1,y\right)$  

 

Rysunek pomocniczy:  

Zauważmy, że kąt przyległy do kąta 150^o ma miarę 30^o, zatem:

$\frac{\left|PB\right|}{\left|BO\right|}=\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$\frac{y}{1}=\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

 

Obliczamy:

$\mathrm{tg}{150}^{\circ }=\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-1}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$\mathrm{ctg}{150}^{\circ }=\frac{x}{y}=\frac{-1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\frac{3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}$  

$\sin {150}^{\circ }=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{3}{9}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{4}{3}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$  

$\cos {150}^{\circ }=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{-1}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}}=\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{3}{9}}}=\frac{-1}{\sqrt{\frac{4}{3}}}=\frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$