Wykaż, że dla dowolnej liczby ...- Zadanie 4.2: MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

$(n^{3} + n^{2} - 2 n) (n^{2} + 4 n + 3) = n (n^{2} + n - 2) (n^{2} + 4 n + 3)$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$n_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$n_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$n_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$n_{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Zatem możemy zapisać:

$(n^{3} + n^{2} - 2 n) (n^{2} + 4 n + 3) = n (n + 2) (n - 1) (n + 3) (n + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$

Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, zatem jedna z tych liczb jest podzielna przez 2 i jedna z tych liczb jest podzielna przez 3 i jedna z tych liczb jest podzielna przez 4 i jedna z tych liczb jest podzielna przez 5.

Zatem otrzymany iloczyn jest podzielny przez 2·3·4·5=120, zatem otrzymany iloczyn jest również podzielny przez 60, co należało wykazać.