a)

Szkic pomocniczy:

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

$9^2=6^2+x^2-2\cdot 6\cdot x\cdot \cos {30}^{\circ }$  

 

$81=36+x^2-12x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

 

$0=x^2-6\sqrt{3}x-45$  

 

$\Delta ={\left(-6\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-45\right)=108+180=288$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}$  

 

$x_1=\frac{6\sqrt{3}+12\sqrt{2}}{2}=\underline{3\sqrt{3}+6\sqrt{2}}$   

 

$x_2=\frac{6\sqrt{3}-12\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{3}-6\sqrt{2}=3\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)<0$   - długość boku nie może być liczbą ujemną, więc ten wynik odrzucamy 

    

 

b)

${15}^2=x^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot x\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos {45}^{\circ }$  

 

$225=x^2+50-10\sqrt{2}x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

$225=x^2+50-10x$  

 

$0=x^2-10x-175$  

 

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-175\right)=100+700=800$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{800}=\sqrt{400\cdot 2}=20\sqrt{2}$  

 

$x_1=\frac{10+20\sqrt{2}}{2\cdot 1}=5+10\sqrt{2}$  

 

$x_2=\frac{10-20\sqrt{2}}{2\cdot 1}=5-10\sqrt{2}<0$    - ten wynik odrzucamy, gdyż długość boku nie może być liczbą ujemną.