$2n+1$   - liczba boków, gdzie  $n\in \mathbb{N}$  

 

Liczbę przekątnych możemy obliczyć ze wzoru:

$\frac{k\left(k-3\right)}{2}$  , gdzie k to liczba boków wielokąta.

 

Wyznaczmy liczbę przekątnych danego n-kąta:

$\frac{\left(2n+1\right)\cdot \left(2n+1-3\right)}{2}=$  

$=\frac{\left(2n+1\right)\cdot \left(2n-2\right)}{2}=$  

$=\frac{4n^2-4n+2n-2}{2}=$  

$=\frac{4n^2-2n-2}{2}=$  

$2n^2-n-1=$  

$=2n^2-2n+n-1=$  

$=2n\left(n-1\right)+1\cdot \left(n-1\right)=\left(2n+1\right)\left(n-1\right)$  

       

Liczba 2n+1 jest liczbą boków, natomiast liczba n-1 jest pewną liczbą naturalną - a więc liczba przekątnych jest wielokrotnością liczby boków.