$\text{a)}$  

Wiemy, że 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem:

$W\left(3\right)=0$  

$2\cdot 3^3+a\cdot 3^2+b\cdot 3+30=0$      

$2\cdot 27+9a+3b+30=0$  

$54+9a+3b+30=0$  

$9a+3b=-84$  

$3a+b=-28$  

$b=-3a-28$  

 

Wiemy, że -1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem:

$W\left(-1\right)=0$  

$2\cdot {\left(-1\right)}^3+a\cdot {\left(-1\right)}^2+b\cdot \left(-1\right)+30=0$  

$-2+a-b+30=0$  

$a-\left(-3a-28\right)+28=0$  

$a+3a+28+28=0$  

$4a=-56$  

$\underline{\underline{a=-14}}$  

 

Wyznaczmy wartość  b.

$b=-3a-28$  

$b=-3\cdot \left(-14\right)-28$  

$b=42-28$  

$\underline{\underline{b=14}}$  

---

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)=2x^3-14x^2+14x+30$  

Wiemy, że pierwiastkami tego wielomianu są 3 i -1, zatem:

 

Zatem możemy zapisać:

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(2x^2-8x-10\right)$  

$W\left(x\right)=\left(x-3\right)\cdot 2\left(x^2-4x-5\right)$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$  

$x_1=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zatem trzecim pierwiastkiem tego wielomianu jest x=5.