Z treści zadania wiemy, że:

x cm - długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa

x+5 cm - długość wysokości tego graniastosłupa

Zał: x>0

 

Wyznaczmy wzór opisujący objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o podanych wymiarach.   

$V\left(x\right)=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot \left(x+5\right)$  

 

Sprawdźmy, dla jakiej wartości x objętość jest równa  $99\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^3\right].$  

$99\sqrt{3}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot \left(x+5\right)\mid :\frac{\sqrt{3}}{4}$  

$396=x^2\left(x+5\right)$  

$396=x^3+5x^2$  

$0=x^3+5x^2-396$  

Dzielniki wyrazu wolnego:  $1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,9,-9,11,-11,12,-12,\dots$  

Dzielniki współczynnika o najwyższej potędze:  $1,-1$   

Możliwe rozwiązania równania:  $1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,9,-9,11,-11,12,-12,\dots$  

 

Łatwo zauważyć, że 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 nie są rozwiązaniami tego równania.

Sprawdźmy, czy x=6 jest rozwiązaniem tego równania.

$0=6^3+5\cdot 6^2-396$  

$0=216+5\cdot 36-396$  

$0=216+180-396$  

$0=0$  

Zatem x=6 jest rozwiązaniem tego równania.

Zatem możemy zapisać:

$0=\left(x-6\right)\left(x^2+11x+66\right)$  

$\Delta ={11}^2-4\cdot 1\cdot 66<0$  

Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest x=6.