$2R=\left|AB\right|$    - średnica okręgu o środku w punkcie S.

 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

$\left|KM\right|=r+\frac{R}{2}$  

$\left|KS\right|=\frac{R}{2}$  

$\left|SM\right|=\left|CS\right|-\left|CM\right|=R-r$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa z zaznaczonym trójkącie:

${\left(\frac{R}{2}\right)}^2+{\left(R-r\right)}^2={\left(\frac{R}{2}+r\right)}^2$  

 

$\frac{R^2}{4}+R^2-2Rr+r^2=\frac{R^2}{4}+Rr+r^2$  

 

$R^2+=3Rr\mid :3R$  

 

$\frac{R}{3}+=r$  

 

$r=\frac{1}{3}\cdot R=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{6}\left|AB\right|$