Etap 1.

$x^2-4x+m^2+3m<0$  

Zauważmy, że jest to parabola, której ramiona są skierowane w górę.

Wykres:

   

Jeśli $\Delta >0$, to rozwiązaniem nierówności $x^2-4x+m^2+3m<0$ jest przedział $x\in \left(x_1,x_2\right)$

Jeśli $\Delta =0$, to rozwiązaniem nierówności $x^2-4x+m^2+3m<0$ jest $x=x_1=x_2$

Jeśli $\Delta <0$, to rozwiązaniem nierówności $x^2-4x+m^2+3m<0$ jest zbiór pusty.

Aby zbiór rozwiązań nierówności $x^2-4x+m^2+3m<0$ był podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych dodatnich musi zachodzić:

$\left(x_1,x_2\right)\subset \left(0,+\infty \right)$

co oznacza, że miejsca zerowe funkcji $x^2-4x+m^2+3m$ muszą spełniać warunek: 

$x_1\ge 0\text{i}{x}_2>0$ (Zauważ, że jeśli $x_1=0\text{i}{x}_2>0$, to przedział $\left(x_1,x_2\right)=\left(0,x_2\right)$ również zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich)

Zatem:

$\Delta \ge 0$  

$x_1+x_2>0$  

$x_1\cdot x_2\ge 0$  

 

Etap 2.

$\Delta \ge 0$  

${\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2+3m\right)\ge 0$  

$16-4m^2-12m\ge 0\mid :\left(-4\right)$  

$m^2+3m-4\le 0$  

${\Delta }_m=3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$m_1=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$m_2=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$m\in ⟨-4,1⟩$  

oraz

$x_1+x_2>0$  

$\frac{-b}{a}>0$  

$\frac{4}{1}>0$  

$4>0$  

oraz

$x_1\cdot x_2\ge 0$  

$\frac{c}{a}\ge 0$  

$m^2+3m\ge 0$  

$m\left(m+3\right)\ge 0$  

$m\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨0,+\infty )$  

 

Etap 3.

Łącząc wszystkie warunki z etapu 2. otrzymujemy:

$m\in ⟨-4,-3⟩\cup ⟨0,1⟩$  

 

Uwaga!!! 

Odpowiedź podana przez autorów jest błędna.

Zauważmy, że dla m=0 otrzymujemy:

$x^2-4x<0$  

$x\left(x-4\right)<0$  

$x\in \left(0,4\right)$  

Zauważmy, że powyższy zbiór jest podzbiorem liczb rzeczywistych dodatnich.