a)

Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość okręgu:

$L=2\cdot \pi \cdot 10=20\pi \text{cm}$  

 

Obliczmy, jaką częścią okręgu jest łuk wyznaczony przez cięciwę AB:

$\frac{3\pi }{20\pi }=\frac{3}{20}$  

 

Obliczmy miarę kąta  $\beta :$  

$\beta =\frac{3}{\sout{20}{}_1}\cdot \sout{360}{18}^{\circ }={54}^{\circ }$  

 

Zauważmy, że trójkąt SBC jest trójkątem prostokątnym - ramiona mają długości  $a=10\text{cm}$  , a podstawa ma długość  $a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\text{cm}$  

 

Miara kąta ASC jest równa:

$\sphericalangle ASC={90}^{\circ }+{54}^{\circ }={144}^{\circ }$  

 

Kąt ADC jest kątem wpisanym w okrąg i jest opisany na tym samym łuku, co kąt środkowy ASC, a więc:

$\alpha ={144}^{\circ }:2={72}^{\circ }$  

 

b)

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że  $\gamma ={90}^{\circ }$  

Suma miar kątów w czworokącie jest równa 360^o - a więc z czworokąta BODE mamy:

$\alpha ={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }-{90}^{\circ }={30}^{\circ }$