Kąty  $\alpha$   i  $\beta$   są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, a więc:

$\alpha ={90}^{\circ }-\beta$  

 

$\mathrm{ctg}\beta +\frac{1}{\cos \alpha }=5$  

 

$\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{\cos \left({90}^{\circ }-\beta \right)}=5$  

 

$\frac{\cos \beta }{\sin \beta }+\frac{1}{\sin \beta }=5\mid \cdot \sin \beta$  

 

$\cos \beta +1=5\sin \beta$  

 

$\cos \beta =5\sin \beta -1$  

 

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:  

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${\sin }^2\beta +{\left(5\sin \beta -1\right)}^2=1$  

${\sin }^2\beta +25{\sin }^2\beta -10\sin \beta +1=1$  

$26{\sin }^2\beta -10\sin \beta =0$  

$2\sin \beta \left(13\sin \beta -5\right)=0$  

$2\sin \beta =0$  

$\beta =0$   - ten przypadek odrzucamy, ponieważ  $\beta$   jest kątem ostrym

Lub:

$13\sin \beta -5=0$  

$13\sin \beta =5$  

$\sin \beta =\frac{5}{13}$  

 

$\cos \beta =5\sin \beta -1=\frac{25}{13}-1=\frac{12}{13}$  

 

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$  

 

Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej:

$\frac{a}{12}=\frac{5}{12}$  

$a=5$  

 

Obliczmy pole:

$P=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30$