$\text{a)}{x}^2+\left(m-6\right)x+m-7=0$  

$\Delta ={\left(m-6\right)}^2-4\left(m-7\right)=m^2-12m+36-4m+28=m^2-16m+64$  

---

Równanie ma pierwiastki, gdy Δ≥0:

$\left(1\right)\Delta \ge 0$  

$m^2-16m+64\ge 0$  

${\left(m-8\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.

$m\in \mathbf{R}$  

---

Chcemy, by suma kwadratów pierwiastków była najmniejsza. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

$\left(2\right)x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2=$  

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(m-6\right)}^2-2\left(m-7\right)=m^2-12m+36-2m+14=m^2-14m+50$  

Potraktujmy otrzymane wyrażenie jako funkcję zmiennej m:

$f\left(m\right)=m^2-14m+50$  

Funkcja f jest funkcją kwadratową. Współczynnik przy m² jest dodatni, więc funkcja f osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (jeżeli należy on do dziedziny; w tym przypadku dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc wierzchołek paraboli na pewno należy do dziedziny). Obliczamy, dla jakiego argumentu funkcja osiąga najmniejszą wartość (czyli odciętą wierzchołka paraboli):

$m_w=\frac{14}{2}=7$  

---

Odp. Suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza dla m=7.

---

---

$\text{b)}{x}^2+\left(2-m\right)x-m-3=0$  

$\Delta ={\left(2-m\right)}^2-4\left(-m-3\right)=4-4m+m^2+4m+12=m^2+16$  

---

Równanie ma pierwiastki, gdy Δ≥0:

$\left(1\right)\Delta \ge 0$  

$m^2+16\ge 0$  

$m^2\ge -16$  

Nierówność jest zawsze prawdziwa.

$m\in \mathbf{R}$  

---

Chcemy, by suma kwadratów pierwiastków była najmniejsza. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

$\left(2\right)x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2=$  

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(2-m\right)}^2-2\left(-m-3\right)=4-4m+m^2+2m+6=m^2-2m+10$  

Potraktujmy otrzymane wyrażenie jako funkcję zmiennej m:

$f\left(m\right)=m^2-2m+10$  

Funkcja f jest funkcją kwadratową. Współczynnik przy m² jest dodatni, więc funkcja f osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (jeżeli należy on do dziedziny; w tym przypadku dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc wierzchołek paraboli na pewno należy do dziedziny). Obliczamy, dla jakiego argumentu funkcja osiąga najmniejszą wartość (czyli odciętą wierzchołka paraboli):

$m_w=\frac{2}{2}=1$  

---

Odp. Suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza dla m=1.