$f\left(x\right)=m{x}^2-2\left(m-3\right)x+6m-18$  

---

Aby funkcja f miała dwa miejsca zerowe, musi być funkcją kwadratową, więc współczynnik przy x² nie może być zerem:

$m\ne 0$  

---

Dla m≠0 funkcja f jest kwadratowa i wówczas liczba jej pierwiastków zależy od wyróżnika Δ:

$\Delta ={\left[-2\left(m-3\right)\right]}^2-4m\left(6m-18\right)=4{\left(m-3\right)}^2-4m\left(6m-18\right)=4\left(m^2-6m+9\right)-4m\left(6m-18\right)=4m^2-24m+36-24m^2+72m=-20m^2+48m+36$  

---

Funkcja kwadratowa ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0.

$\left(0\right)\Delta >0$  

$-20m^2+48m+36>0\mid :\left(-4\right)$  

$5m^2-12m-9<0$  

${\Delta }_m=144+4\cdot 5\cdot 9=144+180=324,\sqrt{{\Delta }_m}=18$  

$m=\frac{12-18}{10}=-\frac{3}{5}\text{lub}m=\frac{12+18}{10}=3$  

$m\in \left(-\frac{3}{5},3\right)$  

---

 

Chcemy, aby pierwiastki spełniały nierówność x₁<-2<x₂. Może tak być w dwóch przypadkach:

---

Z warunku (1) otrzymujemy:

$f\left(-2\right)<0$  

$4m-2\left(m-3\right)\cdot \left(-2\right)+6m-18<0$  

$4m+4\left(m-3\right)+6m-18<0$  

$4m+4m-12+6m-18<0$  

$14m<30\mid :14$  

$m<\frac{15}{7}$  

Pamiętając, że m>0, mamy:

$m\in \left(0,\frac{15}{7}\right)$  

---

Z warunku (2) otrzymujemy:

$f\left(-2\right)>0$  

$4m-2\left(m-3\right)\cdot \left(-2\right)+6m-18>0$  

$4m+4\left(m-3\right)+6m-18>0$  

$4m+4m-12+6m-18>0$  

$14m>30\mid :14$  

$m>\frac{15}{7}$  

Pamiętając, że m<0, mamy:

$m\in \varnothing$  

---

Łącząc warunki (0), (1) i (2), otrzymujemy:

$m\in \left(-\frac{3}{5},3\right)\text{i}\left[m\in \left(0,\frac{15}{7}\right)\vee m\in \varnothing \right]$  

$m\in \left(0,\frac{15}{7}\right)$  

---

$\text{Odp.}m\in \left(0,\frac{15}{7}\right).$