Liczby x1 i x2 są...- Zadanie 4.20: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Mamy dane równanie:

$3 x^{2} - 7 x - 9 = 0$

Z wzorów Viete'a wiemy, że:

${x_{1} + x_{2} = - \frac{- 7}{3} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- 9}{3}$

zatem:

${x_{1} + x_{2} = \frac{7}{3} x_{1} \cdot x_{2} = - 3$

Uprośćmy wartość podanego wyrażenia:

$\frac{3 x _{1}^{2} + 7 x _{1} \cdot x _{2} + 3 x _{2}^{2}}{2 x _{1} \cdot x _{2}^{2} + 2 x _{1}^{2} \cdot x _{2}} = \frac{3 ( x _{1}^{2} + x _{2}^{2} ) + 7 x _{1} \cdot x _{2}}{2 x _{1} \cdot x _{2} \cdot ( x _{2} + x _{1} )} = \frac{3 ( ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} \cdot x _{2} ) + 7 x _{1} \cdot x _{2}}{2 x _{1} \cdot x _{2} \cdot ( x _{2} + x _{1} )} =$

$= \frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 6 x _{1} \cdot x _{2} + 7 x _{1} \cdot x _{2}}{2 x _{1} \cdot x _{2} \cdot ( x _{2} + x _{1} )} = \frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} + x _{1} \cdot x _{2}}{2 x _{1} \cdot x _{2} \cdot ( x _{2} + x _{1} )}$

Obliczmy wartość podanego wyrażenia:

$\frac{3 \cdot ( \frac{7}{3} ) ^{2} + ( - 3 )}{2 \cdot ( - 3 ) \cdot ( \frac{7}{3} )} = \frac{3 \cdot \frac{49}{9} - 3}{- 14} = \frac{\frac{49}{3} - 3}{- 14} = \frac{\frac{49}{3} - \frac{9}{3}}{- 14} = \frac{\frac{40}{3}}{- 14} = \frac{40}{3} \cdot (- \frac{1}{14}) = - \frac{20}{21}$