$\text{a)}K=\left(0,0\right),L=\left(1,2\right)$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Wówczas:

$\left|KM\right|=1$  

$\left|LM\right|=2$  

Obliczamy długość odcinka KL korzystając z tw. Pitagorasa:

$\left|KL\right|=\sqrt{1^2+2^2}$  

$\left|KL\right|=\sqrt{5}$  

 

Obliczamy sinus kąta α:

$\sin \alpha =\frac{\left|LM\right|}{\left|KL\right|}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$  

Obliczamy cosinus kąta α:

$\cos \alpha =\frac{\left|KM\right|}{\left|KL\right|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

 

$\underline{\underline{}}$

$\text{b)}L=\left(0,-1\right),L=\left(3,2\right)$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Wówczas:

$\left|NM\right|=2$   

$\left|LM\right|=2$  

Obliczamy długość odcinka KL korzystając z tw. Pitagorasa:

$\left|NL\right|=\sqrt{2^2+2^2}$  

$\left|NL\right|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$   

 

Obliczamy sinus kąta α:

$\sin \alpha =\frac{\left|LM\right|}{\left|NL\right|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{{\sout{2}}^1\sqrt{2}}{{\sout{4}}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$    

Obliczamy cosinus kąta α:

$\cos \alpha =\frac{\left|NM\right|}{\left|NL\right|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{{\sout{2}}^1\sqrt{2}}{{\sout{4}}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$     

 

$\underline{\underline{}}$  

$\text{c)}K=\left(3,0\right),L=\left(1,-3\right)$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Wówczas:

$\left|KM\right|=2$   

$\left|MN\right|=3$  

Obliczamy długość odcinka KN korzystając z tw. Pitagorasa:

$\left|KN\right|=\sqrt{2^2+3^2}$   

$\left|KN\right|=\sqrt{13}$    

 

Obliczamy sinus kąta α:

$\sin \alpha =\frac{\left|MN\right|}{\left|KN\right|}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$      

Obliczamy cosinus kąta α:

$\cos \alpha =\frac{\left|KM\right|}{\left|KN\right|}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$      

 

$\underline{\underline{}}$  

$\text{d)}K=\left(0,5\right),L=\left(0,-2\sqrt{6}\right)$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Możemy zauważyć, że kąt jaki tworzy prosta z osią x ma taką samą miarę jak kąt MLK (jeżeli poprowadzimy prostą LM równoległą do osi x, to kąty te są odpowiadające).

$\left|LM\right|=5$  

$\left|KM\right|=2\sqrt{6}$  

Obliczamy długość odcinka LK korzystając z tw. Pitagorasa:

$\left|LK\right|=\sqrt{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2+5^2}$    

$\left|LK\right|=\sqrt{24+25}$  

$\left|LK\right|=7$       

 

Obliczamy sinus kąta α:

$\sin \alpha =\frac{\left|KM\right|}{\left|LK\right|}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$      

Obliczamy cosinus kąta α:

$\cos \alpha =\frac{\left|LM\right|}{\left|LK\right|}=\frac{5}{7}$