Dla jakich wartości parametrów...- Zadanie 5.23: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) P (x) = x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

Z przekształconej postaci wielomianu P(x) wynika, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) jest równa W(1), czyli R(1)=W(1), a reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+1) jest równa W(-1), czyli R(-1)=W(-1).

${W (1) = R (1) W (- 1) = R (- 1)$

${1 - 3 + a + b = 3 + 2 - 1 - 3 - a + b = - 3 + 2$

${a + b = 7 - a + b = 3$

${a + b = 7 b = a + 3$

${a + a + 3 = 7 b = a + 3$

${2 a = 4 ∣ : 2 b = a + 3$

${a = 2 b = a + 3$

${a = 2 b = 2 + 3$

${a = 2 b = 5$

$Odp. a = 2, b = 5 .$

$b) P (x) = x^{2} - 3 x + 5 a$

Nie znamy dokładnej wartości wyrazu wolnego, zatem nie możemy zapisać wielomianu P(x) w postaci iloczynowej.

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez P(x) daje resztę R(x).

Oznaczamy:

$Q (x) = c x + d$

$W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$

Obliczmy iloczyn wielomianów P(x) i Q(x):

$P (x) \cdot Q (x) = (x^{2} - 3 x + 5 a) \cdot (c x + d) = c x^{3} + d x^{2} - 3 c x^{2} - 3 d x + 5 a c x + 5 a d$

zatem:

$x^{3} + 2 x^{2} - a x - 20 b = c x^{3} + d x^{2} - 3 c x^{2} - 3 d x + 5 a c x + 5 a d + 9 x - 5$

$x^{3} + 2 x^{2} - a x - 20 b = c x^{3} + (d - 3 c) x^{2} + (9 + 5 a c - 3 d) x + 5 a d - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c 2 = d - 3 c - a = 9 + 5 a c - 3 d - 20 b = 5 a d - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c 2 = d - 3 \cdot 1 - a = 9 + 5 a - 3 d - 20 b = 5 a d - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 - 6 a = 9 - 3 \cdot 5 - 20 b = 5 a \cdot 5 - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 - 6 a = - 6 - 20 b = 25 a - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 a = 1 - 20 b = 25 a - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 a = 1 - 20 b = 25 \cdot 1 - 5$

$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 a = 1 - 20 b = 20$
$⎩ ⎨ ⎧ 1 = c d = 5 a = 1 b = - 1$

${a = 1 b = - 1$

$Odp. a = 1, b = - 1 .$

$c) P (x) = x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$

${W (1) = R (1) W (2) = R (2)$

${3 - 7 + 2 - (a + 1) + 2 (b - 1) = - 3 + 4 3 \cdot 2^{4} - 7 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 2 (a + 1) + 2 (b - 1) = - 3 \cdot 2 + 4$

${3 - 7 + 2 - a - 1 + 2 b - 2 = - 3 + 4 3 \cdot 16 - 7 \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 2 (a + 1) + 2 (b - 1) = - 6 + 4$

${- a + 2 b = 6 48 - 56 + 8 - 2 (a + 1) + 2 (b - 1) = - 2$

${- a + 2 b = 6 - 2 (a + 1) + 2 (b - 1) = - 2 ∣ : (- 2)$

${- a + 2 b = 6 a + 1 - (b - 1) = 1$

${- a + 2 b = 6 a + 1 - b + 1 = 1$

${- a + 2 b = 6 a - b = - 1$

${- a + 2 b = 6 b = a + 1$

${- a + 2 (a + 1) = 6 b = a + 1$

${- a + 2 a + 2 = 6 b = a + 1$

${a = 4 b = a + 1$

${a = 4 b = 5$

$Odp. a = 4, b = 5 .$

$d) P (x) = x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$

Z przekształconej postaci wielomianu P(x) wynika, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+1) jest równa W(-1), czyli R(-1)=W(-1), a reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-2) jest równa W(2), czyli R(2)=W(2).

${W (- 1) = R (- 1) W (2) = R (2)$