$\text{a)}W\left(x\right)+P\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+x-3+\left(b-2\right)x^3-a{x}^2-x-1=\left(a+b-2\right)x^3+\left(-a+b\right)x^2-4$  

Wielomian jest stopnia trzeciego, gdy współczynnik przy x³ jest różny od zera.

$a+b-2\ne 0$  

$a\ne -b+2$  

Wielomian jest stopnia drugiego, gdy współczynnik przy x³ jest równy zero i współczynnik przy x² jest różny od zera.

$a+b-2\ne 0\text{i}-a+b=0$  

$a+b-2\ne 0\text{i}a=b$  

$b+b-2\ne 0\text{i}a=b$  

$2b\ne 2\mid :2\text{i}a=b$  

$b\ne 1\text{i}a=b$  

Wielomian jest stopnia zerowego, gdy współczynniki przy x³ i x² są równe zero.

$a+b-2=0\text{i}-a+b=0$  

$a+b-2=0\text{i}a=b$  

$b+b-2=0\text{i}a=b$  

$2b=2\mid :2\text{i}a=b$  

$b=1\text{i}a=b$  

$b=1\text{i}a=1$  

Podsumowując:

1) st.W(x)+P(x)=3 dla a≠-b+2, b ∈ R,

2) st.W(x)+P(x)=2 dla b≠1, a=b,

3) st.W(x)+P(x)=0 dla a=b=1.

---

$\text{b)}W\left(x\right)+P\left(x\right)=\left(a-1\right)x^3-\left(b+4\right)x^2+ax-1+\left(b+1\right)x^3-2a{x}^2+2x+2=\left(a+b\right)x^3-\left(2a+b+4\right)x^2+\left(a+2\right)x+1$  

Wielomian jest stopnia trzeciego, gdy współczynnik przy x³ jest różny od zera.

$a+b\ne 0$  

$a\ne -b$  

Wielomian jest stopnia drugiego, gdy współczynnik przy x³ jest równy zero i współczynnik przy x² jest różny od zera.

$a+b=0\text{i}-\left(2a+b+4\right)\ne 0$  

$b=-a\text{i}2a+b+4\ne 0$  

$b=-a\text{i}2a-a+4\ne 0$  

$b=-a\text{i}a+4\ne 0$  

$b=-a\text{i}a\ne -4$  

Wielomian jest stopnia drugiego, gdy współczynniki przy x³ oraz x² są równe zero, a współczynnik przy x jest różny od zera.

$a+b=0\text{i}-\left(2a+b+4\right)=0\text{i}a+2\ne 0$  

$b=-a\text{i}2a+b+4=0\text{i}a\ne -2$  

$b=-a\text{i}2a-a+4=0\text{i}a\ne -2$  

$b=-a\text{i}a+4=0\text{i}a\ne -2$  

$b=-a\text{i}a=-4\text{i}a\ne -2$  

$b=4\text{i}a=-4$  

Wielomian jest stopnia zerowego, gdy współczynniki przy x³, x² oraz x są równe zero.

$a+b=0\text{i}-\left(2a+b+4\right)=0\text{i}a+2=0$  

$b=-a\text{i}2a+b+4=0\text{i}a=-2$  

$b=2\text{i}-4+b+4=0\text{i}a=-2$  

$b=2\text{i}b=0\text{i}a=-2$  

Równości b=2 i b=0 wykluczają się, więc wielomian nie może mieć stopnia zero.

Podsumowując:

1) st.W(x)+P(x)=3 dla a≠-b, b ∈ R,

2) st.W(x)+P(x)=2 dla a≠-4, b=-a,

3) st.W(x)+P(x)=1 dla a=-4, b=4.